Média

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Em estatística a média é o valor que aponta para onde mais se concentram os dados de uma distribuição. Pode ser considerada o ponto de equilíbrio das frequências, num histograma.

Média é um valor significativo de uma lista de valores. Se todos os números da lista são os mesmos, então este número será a média dos valores. Caso contrário, um modo simples de representar os números da lista é escolher de forma aleatória algum número da lista. Contudo, a palavra 'média' é usualmente reservada para métodos mais sofisticados. Em último caso, a média é calculada através da combinação de valores de um conjunto de um modo específico e gerando um valor, a média do conjunto.

Média aritmética é a forma mais simples de calcular uma média, mas existem outros métodos, como a mediana (usada quando a distribuição de valores é mal organizada, com grandes e pequenos valores, como valores de rendimento).

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Um dos trabalhos realizados pelo João para a disciplina de Matemática consistiu em fazer o registo das idades dos alunos do 9.º ano da sua escola e em elaborar um gráfico da distribuição dos alunos por idades. O gráfico que o João elaborou está correcto. Na Figura 1, está representado esse gráfico. 13 14 15 Idade Número de alunos anos--------nº de alunos 13-----------5 14-----------40 15-----------25 16-----------10 2.1. Qual é a média das idades dos alunos do 9.º ano da escola do João? Calcular o número total de alunos (80) 5+40+25+10 Calcular a soma das idades dos alunos (1160) 13x5+14x40+15x25+16x10 Determinar a média das idades (14,5)

Média aritmética[editar | editar código-fonte]

Se n número dados, cada número denotado por ai, onde i = 1, ..., n, a média aritmética é a soma dos valores ai's divididos por n, ou:

\bar{x} = \frac{x_1 + x_2 + .. .. + x_n}{n} = {1 \over n} \sum_{i = 1}^n{x_i}

Média geométrica[editar | editar código-fonte]

A média geométrica de n números é obtida pela multiplicação de todos juntos e então calcula-se a n-ésima raiz desse produto. Algebricamente falando seria assim:

a1a2, ..., an é definido como

\text{MG=} \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n a_i}=\sqrt[n]{a_1 a_2 \cdots a_n}.

Esse tipo de média pode ser pensada como o antilogaritmo da média aritmética dos logaritmos dos números.

Exemplo: A média geométrica de 2 e 8 é GM = \sqrt{2 \cdot 8} = 4.

Média harmônica[editar | editar código-fonte]

A média harmônica para um conjunto de números a1a2, ..., an é definida como a recíproca da média aritmética para os valores 'ai's:

HM = \frac{1}{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{1}{a_i}}=\frac{n}{\frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\cdots+\frac{1}{a_n}}.

Um caso onde essa método é útil é no cálculo da média de velocidade. Por exemplo, se a velocidade indo do ponto A para o ponto B foi 60 km/h, e a velocidade para a volta de B para A foi de 40 km/h, então a velocidade média é dada por

\frac{2}{1/60+1/40}=48.

(Note, entretanto que se se tivesse viajado por metade do tempo em uma velocidade e a outra metade na outra velocidade, a média aritmética, nesse caso 50 km por hora, proveria a correta noção de média).

Outro uso frequente é no cálculo da resistência equivalente em uma associação de vários resistores em paralelo. Se três resistores de valores R1, R2 e R3 estiverem em paralelo, a resistência R do circuito será

R=\frac{1}{\frac{1}{R1}+\frac{1}{R2}+\frac{1}{R3}}.

Média Ponderada[editar | editar código-fonte]

É o Quociente da soma dos produtos desses números pela soma dos respectivos pesos:

Ex:

   {Trabalho: nota 8 (peso 2) 
   {Prova oral: nota 6 (peso 3) 
   {Prova escrita: nota 9 (peso 5)

Ex:

    (8x2+6x3+9x5)/(2+3+5)= 79/10= 7,9

Diferença entre média aritmética, geométrica e harmônica[editar | editar código-fonte]

Uma diferença conhecida entre estes três tipos de média é que, para qualquer conjunto de números positivos, existe

AM \ge GM \ge HM. \,

Constate que a ordem alfabética das letras A, G, e H, preservada nessa desigualdade, facilita a memorização da propriedade.

Medidas de tendência central[editar | editar código-fonte]

Nome Equação ou descrição
Média aritmética \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i  =  \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n)
Média geométrica \bigg(\prod_{i=1}^n x_i \bigg)^{1/n} = \sqrt[n]{x_1 \cdot x_2 \dotsb x_n}
Média harmônica \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}}
Média quadrática
(ou RMS)
\sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i^2} =
\sqrt {\frac{x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2}{n}}
Média generalizada \sqrt[p]{\frac{1}{n} \cdot \sum_{i=1}^n x_{i}^p}
Média heroniana[1] \frac{2}{n(n+1)} \cdot \sum_{i=1}^n \sum_{j=i}^n \sqrt{x_i x_j}
Média ponderada \frac{ \sum_{i=1}^n w_i x_i}{\sum_{i=1}^n w_i} = \frac{w_1 x_1 + w_2 x_2 + \cdots + w_n x_n}{w_1 + w_2 + \cdots + w_n}
Média truncada ou média podada A média aritmética dos valores após um certo número ou proporção maiores e menores terem sido descartados
Mediana O valor intermediário que separa a metade superior da metade inferior do conjunto de dados
Mediana geométrica Uma rotação invariante extensão da mediana para pontos em Rn
Moda O valor mais frequente no conjunto de dados
Média média é o valor médio de uma distribuição, determinado segundo uma regra estabelecida a prioridade e que se utiliza para representar todos os valores da distribuição.
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Referências

  1. Sýkora, Stanislav (2009 [última atualização]). Generalized Heronian mean. ebyte.it. Página visitada em 15 de novembro de 2011.