Média geométrica

A média geométrica de um conjunto de números positivos é definida como o produto de todos os membros do conjunto elevado ao inverso do número de membros.

Cálculo

Em uma fórmula: a média geométrica de a₁, a₂, ..., a_n é

$\bigg(\prod_{i=1}^n a_i \bigg)^{1/n} = (a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n)^{1/n} = \sqrt[n]{a_1 \cdot a_2 \dotsb a_n}$.

Em uma proporção onde os meios são iguais um dos extremos é a media proporcional. A média geométrica é também a média aritmética harmônica no sentido que, se duas seqüências (a_n) e (h_n) são definidas:

$a_{n+1} = \frac{a_n + h_n}{2}, \quad a_1=\frac{x + y}{2}$

e

$h_{n+1} = \frac{2}{\frac{1}{a_n} + \frac{1}{h_n}}, \quad h_1=\frac{2}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

então a_n e h_n convergem para a média geométrica de x e y.

Exemplo

Se um investimento rende 10% no primeiro ano e 20% no segundo ano, qual o rendimento médio desse investimento?

Seja M o montante aplicado inicialmente, após esses dois anos o montante será igual a $M*1,10*1,20 = 1,32*M$. Se tomarmos a média aritmética teríamos 15% como média, porém, ao calcular o montante ao final dos dois anos obteríamos $M*1,15*1,15 = 1,3225*M$, que é diferente de $1,32*M$.

Por outro lado, a média geométrica entre 10% e 20% é igual a $\sqrt{1,10*1,20}$ (aproximadamente igual a 1,1489). Aplicando essa média ao montante, temos que $M*\sqrt{1,10*1,20}*\sqrt{1,10*1,20} = M*(1,10*1,20) = 1,32*M$, que é exatamente igual ao valor obtido quando aplicamos os rendimentos originais.