Média harmônica

Em Matemática, a média harmônica é um dos vários métodos de calcular uma média.

A média harmônica dos números reais positivos x₁,…,x_n é definida como sendo o número de membros dividido pela soma do inverso dos membros, como segue

$H = \frac{n}{\frac{1}{x_1} + \frac{1}{x_2} + \cdots + \frac{1}{x_n}} = \frac{n}{\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}}, \qquad x_i > 0 \text{ para todo } i.$

A média harmônica nunca é maior do que a média geométrica ou do que a média aritmética.

Para o caso particular de apenas dois números, outra forma de calcular é multiplicá-los e dividir o resultado pela média aritmética dos mesmos. Matematicamente:

$H = \frac {\alpha \cdot \beta} {\left(\frac{\alpha + \beta} {2} \right)}$

Equivalente à primeira para n = 2.

Utilizamos a Média Harmônica quando estamos tratando de observações de grandezas inversamente proporcionais como por exemplo, velocidade e tempo. A média harmônica é particularmente recomendada para uma série de valores que são inversamente proporcionais, como para o cálculo da velocidade média, custo médio de bens comprados com uma quantia fixa.

História

Arquitas de Tarento, um matemático pitagórico que floresceu por volta de 400 a.C., definiu que existiam três tipos de média. Um número é a média aritmética de dois outros quando o excesso do primeiro para o segundo é igual ao excesso do segundo para o terceiro, a média geométrica quando a proporção do segundo para o terceiro é igual à proporção do primeiro para o segundo, e a média harmônica quando a quantidade que o primeiro excede o segundo em relação ao primeiro é igual à quantidade que o segundo excede o terceiro em relação ao terceiro; em notação moderna, sendo o primeiro x, o segundo m e o terceiro y (x > m > y > 0):

$x - m = m - y\,$ (média aritmética)

$\frac{m}{y} = \frac{x}{m}\,$ (média geométrica)

$\frac{x - m}{x} = \frac{m - y}{y}\,$ (média harmônica)

que, após transformações, chegam às fórmulas:

$m = \frac {x + y}{2}\,$ (média aritmética)

$m = \sqrt {x y}\,$ (média geométrica)

$\frac{1}{m} = \frac{1}{2} (\frac{1}{x} + \frac{1}{y})\,$ (média harmônica)