Método da bisseção

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Allguns passos do método da bisseção aplicado num intervalo inicial de [a1,b1]. A primeira iteração gera o ponto b2, a segunda gera a2 e a terceira a3. Podemos perceber que o método converge para o ponto em vermelho, que é a raiz da nossa função F(x).

O método da bisseção (português brasileiro) ou método da bissecção (português europeu) é um método numérico para encontrar as raízes de uma função que é bem simples e robusto, porém é lento se comparado à métodos como o método de Newton ou o método das secantes.

Descrição[editar | editar código-fonte]

Este método pode ser usado para encontrar as raízes de uma função f(x) contínua com x pertencente aos reais definida num intervalo [a,b], tendo f(a) e f(b) sinais opostos, ou seja, f(a).f(b)≤0. Como f(a) e f(b) têm sinais opostos e f(x) é contínua, pelo teorema do valor intermediário podemos afirmar que existe uma raiz neste intervalo [a,b]. Vamos considerar também que esta raiz seja a única no intervalo.[1]

O método consiste em dividir o intervalo em dois no seu ponto médio c (c=(a+b)/2), e então verificar em qual dos dois novos intervalos se encontra a raiz. Ao encontrar o ponto c existem apenas três opções, ou f(a).f(c)<0 e neste caso sabemos que a raiz se encontra no intervalo [a,c], tornando c o nosso "novo b", ou f(b).f(c)<0 (f(a).f(c)>0) e neste caso sabemos que o zero da função se encontra no intervalo [c,b], tornando c o nosso "novo a", ou f(c)=0 e com isso sabemos que c é a raiz de nossa função. O processo pode ser repetido, tornando cada intervalo a metade do anterior e, com isso, dividindo o erro também por dois.[1]

Erro[editar | editar código-fonte]

Podemos observar que o erro absoluto máximo será sempre metade do intervalo em questão. Por exemplo, sendo c* o valor exato do zero da função, o erro na primeira interação será

 |c^*- c^1| = (a +  b)/2

E a cada iteração este erro vai ser dividido para a metade do anterior, nos deixando com a equação geral para o erro na "n-ésima" iteração:

 |c^*- c^n| = (a +  b)/2^n[1]

Se \epsilon _n for o erro absoluto, então:

 \epsilon _{n+1} = \epsilon _n /2

e, portanto, dizemos que o método da bisseção tem convergência linear.

Podemos também utilizar a equação do erro absoluto para gerar o valor de n máximo para uma determinada tolerância ou erro, \epsilon.

n = \log_2\left(\frac{\epsilon_0}{\epsilon}\right)

Sendo \epsilon_0 o tamanho inicial do intervalo, portanto, \epsilon_0=b - a

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Calculemos os zeros da função

 f(x)=x^3-x-2

De início temos de achar valores para a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais contrários. a=1 e b=2 respeitam esta condição.

f(1)=-2 e f(2)=+4

Como a função é contínua, sabemos que existe uma raiz entre [1,2]. A primeira iteração gera c=1.5, e f(1.5)=-0.125. Como f(c) é negativa, 'c' se tornará nosso novo 'a' para que continuemos tendo f(a) e f(b) com sinais opostos, e com isso saber que a raiz se encontra entre [1.5, 2]. Repetindo esses passos, teremos intervalos cada vez menores até que o valor de c convirja para o zero de nossa equação. Veja os valores plotados na tabela abaixo:

Iteração a_n b_n c_n f(c_n)
1 1 2 1.5 −0.125
2 1.5 2 1.75 1.6093750
3 1.5 1.75 1.625 0.6660156
4 1.5 1.625 1.5625 0.2521973
5 1.5 1.5625 1.5312500 0.0591125
6 1.5 1.5312500 1.5156250 −0.0340538
7 1.5156250 1.5312500 1.5234375 0.0122504
8 1.5156250 1.5234375 1.5195313 −0.0109712
9 1.5195313 1.5234375 1.5214844 0.0006222
10 1.5195313 1.5214844 1.5205078 −0.0051789
11 1.5205078 1.5214844 1.5209961 −0.0022794
12 1.5209961 1.5214844 1.5212402 −0.0008289
13 1.5212402 1.5214844 1.5213623 −0.0001034
14 1.5213623 1.5214844 1.5214233 0.0002594
15 1.5213623 1.5214233 1.5213928 0.0000780

Como podemos ver, a partir da 13º iteração o valor de 'c' já tem 4 dígitos significativos corretos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c Francisco Satuf. "Método da Bisseção". Página visitada em 2 de outubro de 2013.