Método das imagens

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O método das imagens é um procedimento empregado para solucionar a equação de Poisson. O método consiste na substituição de parte de alguns elementos do problema original por uma carga, ou uma distribuição de cargas, respeitando as condições de contorno impostas inicialmente.

Aplicação do método das imagens[editar | editar código-fonte]

Para calcular o potencial eletrostático de um sistema de cargas, é necessário que a distribuição de cargas no sistema seja bem definida , ou seja, localizada de acordo com um referencial adotado.

Entretanto, em alguns problemas, como por exemplo, quando temos uma carga localizada próximo a um condutor, uma certa quantidade de cargas provavelmente será induzida e posicionada de forma a anular o campo produzido pela carga de teste dentro do condutor. Desse modo, o arranjo das cargas induzidas é muito complexo, tornando muito complicado o cálculo análitico do potencial eletrostático gerado pelo novo sistema de cargas.

No entanto, o método das imagens, torna o problema mais simples de ser resolvido. Este método simplifica a distribuição de cargas induzidas, com a substituição dessas por cargas virtuais, de forma que o problema em questão não tenha suas condições de contorno alteradas e ainda seja possível realizar o cálculo do potencial e de outras grandezas através deste.

Teorema da unicidade[editar | editar código-fonte]

O teorema da unicidade garante o uso do método das imagens. O teorema diz que a solução da equação de Poisson para um volume, é unicamente determinada se o potencial é especificado na fronteira da superfície do volume considerado.

A prova do teorema da unicidade considera as condições de contorno de Neumann, para especificação do campo elétrico e para densidade de carga superficial. E também considera as condições de Dirichlet, para especificação dos potenciais nas superfícies em questão.

Portanto para um volume V sujeito a essas condições, temos a equação de Poisson:[1]

\nabla^2 \Phi = \frac{-\rho}{\epsilon0}

E supomos que existam duas soluções  \phi1 e \phi2 que satisfaçam as mesmas condições de contorno. Então fazemos:

 \Phi = \phi1 - \phi2


Como \nabla^2 \Phi =0 dentro do volume V e \Phi=0 e \partial\Phi / \partial n =0 (derivada normal) pelas condições impostas, usamos a identidade de Green, que fica da seguinte forma:


\int_{V}(\Phi\nabla^2\Phi + \nabla\Phi\cdot\nabla\Phi) \,dV =\oint_{S}\Phi \frac{\partial\Phi}{\partial n} da


A partir dessas condições temos apenas:

\int_{V} \left|\nabla\Phi\right|^2 \,dV = 0


Que leva a  \nabla\Phi=0 , portanto \Phi é constante, mas como U=0, então \phi1 = \phi2, ou seja a solução é unica.

Exemplos de aplicações do método das imagens:[editar | editar código-fonte]

1) Carga pontual sobre um plano infinito[editar | editar código-fonte]

Ilustração da carga pontual e o plano infinito.

Este é o caso clássico do problema que precisa do método das imagens para ser solucionado.

Uma carga q positiva é posicionada a uma distância d de um plano condutor infinito com potencial  V=0 . O sistema cartesiano é utilizado com a localização da carga pontual em:    x=y=0  e   z=d  .

As seguintes condições de contorno a serem respeitadas:

1)V=0 em \quad z=0 com o plano condutor aterrado

2) V\rightarrow0 \quad quando calculamos o potencial para distâncias muito maiores que d \qquad( x^2+y^2+z^2>> d^2 )

Pelo método das imagens usamos uma carga pontual, a uma distância -d, no eixo z, negativa, para representar as cargas induzidas. Assim podemos calcular o potencial eletrostático em qualquer posição do espaço com essa nova construção do sistema.

V(x,y,z) = \frac{1}{4\pi\epsilon0}\left[\frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z-d\right)^2}} - \frac{q}{\sqrt{x^2+y^2+\left(z+d\right)^2}} \right]

Note que a expressão anterior obedece as condições de contorno adotadas a princípio.[2]

Grandezas associadas:[editar | editar código-fonte]

Densidade carga induzida[editar | editar código-fonte]

Agora que conhecemos o potencial podemos calcular a densidade de carga induzida no condutor:

 \sigma = -\epsilon_{0} {  \partial V\over \partial n} \quad ou  \quad \sigma = -\epsilon_{0} {  \partial V\over \partial z} com \quad z=0

 { \partial V\over \partial z} = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left[\frac{-q\left(z-d\right)}{\left[x^2+y^2+\left(z-d\right)^2\right]^\frac{3}{2}} - \frac{q\left(z+d\right)}{\left[x^2+y^2+\left(z+d\right)^2\right]^\frac{3}{2}} \right]

 \sigma\left( x,y \right) = \frac{-qd}{2\pi\left(x^2+y^2+d^2\right)^\frac{3}{2}}

Como esperado a densidade de cargas é negativa. A carga total induzida é:

 Q = \int \sigma da

A integral é no plano x y , porém é conveniente utilizamos coordenadas polares para facilitar, usamos:

    da = r dr d \phi

   r^2 = x^2 + y^2   .


Temos:

\sigma\left( r \right) = \frac{-qd}{2\pi\left(r^2+d^2\right)^\frac{3}{2}}

e

 Q = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} \frac{-qd}{2\pi\left(r^2+d^2\right)^\frac{3}{2}} rdrd\phi = \frac{qd}{\sqrt{r^2+d^2}} = q


Que é a carga que usamos para representar as cargas induzidas pelo plano.

Força e energia[editar | editar código-fonte]

Como as cargas são oposta, elas sofrem força de atração, portanto temos:

 F = -\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q^2}{\left(2d\right)^2}\hat z

E como energia:

 W = -\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q^2}{2d}

Porém a força real ocorre a distância do plano e não da carga induzida representada, por isso temos:

W = -\frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\frac{q^2}{4d}

2) Carga pontual próxima de uma esfera condutora[editar | editar código-fonte]

Ilustração de uma esfera condutora aterrada próxima a uma carga q, com indução de carga q'(carga virtual).

Uma carga pontual é posicionada a uma distância a do centro de uma esfera condutora de raio R, sendo que esta esfera possui potencial igual a zero, ou seja, está aterrada. De acordo com o método das imagens podemos substituir a esfera condutora, ou as cargas induzidas pela carga pontual, por uma outra carga q', no mesmo eixo a uma distância b do centro da esfera condutora. Portanto o potencial será:

 V\left(r\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}}\left( \frac{q}{r}+\frac{q'}{r'} \right)

Como as distâncias das cargas a um ponto no espaço são:

 \boldsymbol{r} = \sqrt{r^2+a^2-2ra\cos\theta}

 \boldsymbol{r'} = \sqrt{r^2+b^2-2rb\cos\theta}

E as relações consideradas:

 b =\frac{R^2}{a}\quad e \quad q' = \frac{R}{a}q

Temos então:

 V\left(r,\theta\right) = \frac{1}{4\pi\epsilon_{0}} \left(\frac{q}{r}+\frac{q'}{r'}\right) = \frac{q}{4\pi\epsilon_{0}}\left\{\frac{1}{\sqrt{r^2+a^2-2ra\cos\theta}}-\frac{1}{\sqrt{R^2+\left(\frac{ra}{R}\right)^2-2ra\cos\theta}}\right\}

Que satisfazem as condições de contorno:

1) V=0 , quando  r = R .

2)  V\rightarrow0 quando r e r' tendem ao infinito.

Referências

  1. Jackson, J. D., Classical Electrodynamics, (3a ed)Hamilton Printing Company,1998
  2. Griffiths, D. J., Eletrodinâmica p. xv, 3a ed Pearson Addison Wesley, 2011