Método de Castigliano

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O método de Castigliano, devido a Carlo Alberto Castigliano, é um método para determinar os deslocamentos de um sistema linear elástico baseado em derivadas parciais da energia de deformação.

O conceito básico pode ser facilmente entendido, observando que uma mudança em energia é igual à força causadora multiplicada pelo deslocamento (pela equivalência trabalho/energia) resultante. Portanto, a força causadora é igual à mudança de energia dividida pelo deslocamento resultante. Alternativamente, o deslocamento resultante é igual à mudança de energia dividida pela força causadora. As derivadas parciais são necessárias para relacionar as forças causadoras e o deslocamento resultante com a mudança de energia.

Primeiro teorema de Castigliano[editar | editar código-fonte]

Aplicável para forças em uma estrutura elástica. O método de Castigliano para calcular forças é uma aplicação de seu primeiro teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura elástica pode ser expressa como uma função do deslocamento generalizado qi, então a derivada parcial da energia de deformação em relação ao deslocamento generalizado fornece a força generalizada Qi.

Na forma de uma equação,

Q_i=\frac{\partial \bold{U}}{\partial q_i}

sendo U a energia de deformação.

Segundo teorema de Castigliano[editar | editar código-fonte]

Aplicável para deslocamentos em uma estrutura elástica linear. O método de Castigliano para calcular deslocamentos é uma aplicação de seu segundo teorema, que estabelece:

Se a energia de deformação de uma estrutura linear elástica pode ser expressa como uma função da força generalizada Qi, então a derivada parcial de energia de deformação em relação à força generalizada fornece o deslocamento generalizado qi na direção de Qi.

Na forma de uma equação,

q_i=\frac{\partial \bold{U}}{\partial Q_i}.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Para uma viga de Euler-Bernoulli engastada com uma carga P na extremidade livre, o deslocamento \delta na extremidade livre pode ser determinado pelo segundo teorema de Castigliano:

\delta = \frac{\partial \bold{U}}{\partial P}
\delta = \frac{\partial}{\partial P}\int_0^L{\frac{[M(x)]^2}{2EI}dx}
= \frac{\partial}{\partial P}\int_0^L{\frac{[Px]^2}{2EI}dx}

sendo E o módulo de elasticidade, I o momento de inércia da seção transversal e M(x)=P.x a expressão do momento interno na distância x do ponto de engaste da viga. Portanto,

= \int_0^L{\frac{Px^2}{EI}dx}
= \frac{PL^3}{3EI}.

Este resultado é exatamente a expressão conhecida para o deslocamento máximo de uma viga engastado com uma carga concentrada em sua extremidade livre.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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