Método de Frobenius

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Na teoria das equações diferenciais ordinárias, o método de Frobenius consiste num procedimento analítico para encontrar soluções de equações diferenciais ordinárias de segunda ordem na forma de série de Taylor.

O método é aplicável a equações da seguinte forma:

u''+p(z)u'+q(z)u=0\quad (1)\!\;

onde p(z)\, e q(z)\, não são funções analíticas em torno de z=0, mas zp(z) e z^2q(z) são. Se p(z) e q(z) forem analíticas em z=0 o método não é todo necessário, bastando tomar r=0 e utilizar a resolução descrita abaixo para obter valores para A_{k}.

Explicação[editar | editar código-fonte]

O método de Frobenius afirma que existe um solução da forma:

u(z)=\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}

Diferenciando em relação a z\,

u'(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}
u''(z)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}

Substituindo na equação:

z^2\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r-2}+zp(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r-1}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)\sum_{k=0}^{\infty} (k+r)A_kz^{k+r}+q(z)\sum_{k=0}^{\infty} A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} (k+r-1)(k+r)A_kz^{k+r}+p(z)(k+r)A_kz^{k+r}+q(z)A_kz^{k+r}
=\sum_{k=0}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}
=(r(r-1)+p(z)r+q(z))A_0z^r+\sum_{k=1}^{\infty} ((k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z))A_kz^{k+r}

A expressão r\left(r-1\right) + p(0) r + q(0) =: I(r)\, é conhecido como polinômio indicial, que é quadrático em r\,.

Usando isto, a expressão geral do coeficiente z^{k+r}\, é dada por:

I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j

Estes coeficientes devem se anular, uma vez que a equção deve ser satisfeita:

I(k+r)A_k+\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=0
\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=-I(k+r)A_k
{1\over-I(k+r)}\sum_{j=0}^{k-1}((j+r)p(k-j)+q(k-j))A_j=A_k

A série formada pelos Ak acima,

U_{r}(z)=\sum_{k=0}^{\infty}A_kz^{k+r}

satisfaz

z^2U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}\!\;

Se r\, é uma raiz do polinômio indicial, então podemos construir uma solução para a equação. Se a diferença entre as raizes do polinômio indicial não é um número inteiro, então podem-se construir duas solução linearmente independentes para (1).

Pontos singulares regulares[editar | editar código-fonte]

Os pontos singulares da equação diferencial


       P(x) y'' + Q(x) y' + R(x) y = 0

são os pontos x_{0} onde


       P(x_0) = 0

Se os seguintes limites existem[1] :


  \color{Blue}{A = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{x Q(x)}{P(x)} \qquad
  B = \lim_{x\rightarrow x_0} \frac{x^2 R(x)}{P(x)}}

diz-se que o ponto x_0 é um ponto singular regular.

Se x = 0 for um ponto singular regular, existirá pelo menos uma solução da forma


  y(x) = x^r f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^{n+r}

A função f(x) é analítica em x=0 e podemos admitir, sem perder nenhuma generalidade, que f(0) é diferente de zero (se f(0) for nula, fatoriza-se x, e redefinem-se r e f ficando f(0) diferente de zero). [1]

Isso implica que a constante a_0 seja também diferente zero:


  a_0 = \lim_{x\rightarrow 0}  \frac{y}{x^r} = f(0) \neq 0

As derivadas y' e y'' são


\begin{align}
  &y'  = \sum_{n=0}^\infty (n + r) a_n x^{n+r-1}\\
  &y'' = \sum_{n=0}^\infty (n + r - 1) a_n x^{n+r-2}
\end{align}

Para calcular o valor do índice r primeiro observamos que


\begin{align}
  \lim_{x\rightarrow 0} x^{1-r} y'  &=& r a_0\\
  \lim_{x\rightarrow 0} x^{2-r} y'' &=& r(r - 1) a_0
\end{align}

a seguir multiplicamos a equação diferencial por x^{2-r} e dividimos por P


  x^{2-r}y'' + \frac{x Q}{P} x^{1-r} y' + \frac{x^2 R}{P} x^{-r} y = 0

No limite x = 0 e usando as constantes A e B definidas acima

Das (Equações) obtemos:


  [r(r-1) + A r + B] a_0  = 0

Como a_{0} é diferente de zero, r deverá ser solução da chamada equação indicial:


       r(r-1) + A r + B = 0

Para cada raiz real r da equação indicial substituímos as séries para y, y' e y'' na equação diferencial e procedemos da mesma forma que no método das séries, para calcular os coeficientes a_{n}. [1]

Cada raiz conduz a uma solução; se as duas soluções forem diferentes, a solução geral será a combinação linear das duas.

Solução em séries em pontos singulares[editar | editar código-fonte]

Em geral, cada raiz da equação indicial pode conduzir a uma solução em séries de potências. No entanto, em alguns casos é possível encontrar apenas uma solução. O teorema que se segue indica como determinar a solução geral por meio de séries de potências.

teorema Frobenius

Se r_1 e r_2 são duas raízes da equação indicial (em x=0) de uma equação diferencial linear de segunda ordem com ponto singular em x=0, existem três casos, a depender dos valores de r_1 e r_2:


  • Se r_1 - r_2 for diferente de zero e diferente de um número inteiro,

cada raiz conduz a uma solução diferente.


  • Se r_1 = r_2, é possível obter uma única solução y_1 a partir do

método de Frobenius. A segunda solução terá a forma:


y_2(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^{n+r_1} + y_1 \ln\ x

onde a sucessão b_n deverá ser obtida por substituição de y_2 na equação diferencial..[1]

  • Se r_1 - r_2 for um número inteiro, existirá uma solução y_1 com a

forma usada no método de Frobenius. A segunda solução será:


      y_2(x) = \sum_{n=0}^\infty b_n x^{n+r_1} + c y_1 \ln\ x

onde c é uma constante..[1]

Nos casos em que c = 0, a segunda solução tem também a forma do método de Frobenius, o qual implica que aplicando o método de Frobenius é possível encontrar as duas soluções y_1 e y_2 linearmente independentes.

Quando c não é nula, o método de Frobenius permite encontrar apenas uma solução e a segunda solução deverá ser encontrada por substituição da forma geral de y_2 na equação diferencial..[1]

Com as duas soluções encontradas seguindo o método indicado pelo teorema de Frobenius, a solução geral será:


  y(x) = C_1 y_1(x) + C_2 y_2(x)

Em alguns casos as condições fronteira exigem que y seja finita na origem o qual implica C_2 = 0, se r_2 < 0 ou r_2 = r_1, já que nos dois casos a segunda solução é divergente na origem. .[1]

Se r_1 - r_2 é um inteiro e o método de Frobenius conduz a uma única solução y_1, C_2 será também nula e não será preciso calcular y_2.


Referências

  1. a b c d e f g [Equações Diferenciais e Equações de Diferenças. Porto: Jaime E. Villate, 26 de Abril de 2011. 120 págs]. Creative Commons Atribuição-Partilha (versão 3.0), Acesso em 13 julho. 2013.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]