Método de Lax–Friedrichs

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O método de Lax-Friedrichs, em homenagem à Peter Lax e Kurt Otto Friedrichs, é um método numérico para a resolução de equações hiperbólicas em derivadas parciais baseado em diferenças finitas. O método pode ser encontrado a partir do Esquema FTCS (Forward-time central-space). É um método de primeira ordem no tempo e segunda ordem no espaço que apresenta uma estabilidade condicional.

Ilustração do método[editar | editar código-fonte]

A formulação numérica pode ser deduzida a partir da equação da convecção linear:

\frac{\partial u}{\partial t} + a\frac{\partial u}{\partial x}=0\quad\quad(1)

Ao discretizarmos a equação (1) pelo esquema FTCS(Forward-time central-space), utilizamos uma diferença adiantada em relação ao tempo (explícito no tempo) e uma diferença centrada em relação ao espaço, lembrando que a diferença centrada é obtida subtraindo u_{i+1}^n de u_{i-1}^n e isolando \frac{\partial u}{\partial x} provenientes das séries de Taylor, onde obtemos a discretização da convecção linear pelo esquema FTCS:

\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}+a\frac{u_{i+1}^n-u_{i-1}^n}{2\Delta x}=0\quad\quad(2)

Utilizando a Análise de estabilidade de Von Neumann, descobrimos que esse método é incondicionalmente instável, para resolver esse problema de instabilidade, podemos fazer a seguinte substituição na equação (2):

u_i^n=\frac{u_{i+1}^n+u_{i-1}^n}{2}\,

Obtendo assim o método numérico de Lax-Friedrichs:

u_i^{n+1}=\left(\frac{u_{i+1}^n+u_{i-1}^n}{2}\right) -\frac{a\Delta t}{2\Delta x}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right)\quad\quad(3)

O qual também pode ser mostrado em relação ao número de Courant–Friedrichs–Lewy(CFL):

u_i^{n+1}=\left(\frac{u_{i+1}^n+u_{i-1}^n}{2}\right) -\frac{\sigma}{2}\left(u_{i+1}^n-u_{i-1}^n\right)\quad\quad(4)

Estabilidade[editar | editar código-fonte]

A substituição de u_i^n na equação (2) equivale a adicionar um termo de difusão artificial (também conhecida por viscosidade artificial), o que aumentará a estabilidade do método, deixando-o condicionalmente estável. Essa estabilidade condicional, pode ser verificada pela análise de estabilidade de Von Neumann:

  • A solução exata do método numérico é representada por U;
  • Erros de Round-off são representados por \epsilon;
  • A solução numérica é representada por u, onde:

u=U+\epsilon\quad\quad(5)

Substituindo (5) em (4) obtemos:

U_i^{n+1}+\epsilon_i^{n+1}=\left(\frac{U_{i+1}^n+\epsilon_{i+1}^n+U_{i-1}^n+\epsilon_{i-1}^n}{2}\right) -\frac{\sigma}{2}\left(U_{i+1}^n+\epsilon_{i+1}^n-(U_{i-1}^n+\epsilon_{i-1}^n)\right)

Como U é a solução exata:

U_i^{n+1}=\left(\frac{U_{i+1}^n+U_{i-1}^n}{2}\right) -\frac{\sigma}{2}\left(U_{i+1}^n-U_{i-1}^n\right)

Então é verdadeiro que:

\epsilon_i^{n+1}=\left(\frac{\epsilon_{i+1}^n+\epsilon_{i-1}^n}{2}\right) -\frac{\sigma}{2}\left(\epsilon_{i+1}^n-\epsilon_{i-1}^n\right)\quad\quad (6)

Considerando que a função erro, \epsilon, pode ser expandida usando séries de Fourier:

\epsilon_i^n=E^n e^{I\phi i} \quad \quad (onde \quad 0 \leq \phi \leq \pi \quad e \quad I = \sqrt{-1})

Podemos então substituir \epsilon_i^n em (6), obtendo:

E_i^{n+1}e^{I\phi i}=\left(\frac{E^n e^{I\phi (i+1)}+E^n e^{I\phi (i-1)}}{2}\right)-\frac{\sigma}{2}\left(E^n e^{I\phi (i+1)}-E^n e^{I\phi (i-1)}\right)\quad\quad (7)

Dividindo ambos os lados da equação (7) por E^n e^{I\phi i} e sabendo que o fator de amplitude é dado por G=\frac{E^{n+1}}{E^n} (proveniente da análise de estabilidade Von Neumann), a equação (7) fica:

G=\left(\frac{e^{I\phi}+e^{-I\phi}}{2}\right)-\frac{\sigma}{2}(e^{I\phi}-e^{-I\phi})\quad\quad (8)

Podemos usar as seguintes relações de Euler para simplificação da equação (8):

e^{I\phi}=cos{\phi}+I\sin{\phi}\quad\quad\quad e \quad\quad\quad e^{-I\phi}=cos{\phi}-I\sin{\phi}

A equação (8) adquire a seguinte forma:

G=\cos{\phi}-I\sin{\phi}\quad\quad (9)\,

O critério de Von Neumann afirma que o módulo do fator de amplitude deve ser menor ou igual a 1, a fim de que o método se mantenha estável:

|G|\leq 1

Calculando então o módulo do fator de amplitude na equação (9), obtemos:

|G|=\sqrt{\cos^2{\phi}+\sigma^2\sin^2{\phi}}

Onde verificamos, segundo o critétio de Von Neumann, que o método é estável se |\sigma| \leq 1, logo a formulação é condicionalmente estável.

Referências

  • Hirsch, Charles. Numerical Computation Of Internal & External Flows. [S.l.]: JohnWiley & Sons, 2007. ISBN 0750665947
  • Thomas, J.W.. Numerical Partial Differential Equations: Finite Difference Methods. [S.l.: s.n.], 1995.
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