Método delta

Em Inferência estatística, o Método Delta é uma técnica utilizada para aproximar um vetor aleatório através de uma expansão de Taylor. é um método simples, mas útil, para deduzir a distribuição assintótica de variáveis.

O Teorema do Limite Central pode ser considerado como um caso particular do Método Delta. Assim deve começar por familiarizar-se com este teorema.

O teorema do limite central afirma que a soma de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias identicamente distribuídas tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.

Verificadas certas condições, o Método Delta permite concluir que uma função (não apenas a soma) de um número suficientemente elevado de variáveis aleatórias também tem uma distribuição semelhante a uma distribuição Normal.

Enunciado formal do Método Delta

Ver artigo principal: variável aleatória

Ver artigo principal: Convergência de variáveis aleatórias

Ver artigo principal: Teorema de Mann-Wald

• Seja uma função contínua $g:D\subset {\mathbb {R} ^{k}}\rightarrow \mathbb {R} ^{m}$ definida num subconjunto de $\mathbb {R} ^{k}$ chamado "D" e diferenciável no ponto $\mu$.
• Sejam Y_n vetores aleatórios que assumem valores no domínio da função g, tal que $E\left[Y_{n}\right]=\mu$
• Seja Y um vetor aleatório (no caso particular de esse vetor aleatório ter dimensão 1X1, teremos uma variável aleatória, mas aqui vamos apresentar o enunciado geral).
• Lembre-se que ${\xrightarrow {d}}$ designa uma convergência em distribuição.
• Suponha que $r_{n}\left[Y_{n}-\mu \right]{\xrightarrow {d}}Y$ quando $r_{n}\rightarrow \infty$.

Então ,

$r_{n}\left[g\left(Y_{n}\right)-g\left(\mu \right)\right]{\xrightarrow {d}}g'\left(\mu \right)Y$

Caso particular: distribuição normal

Seja $Y_{n}$ uma sucessão de variáveis aleatórias tais que

${{\sqrt {n}}[Y_{n}-\mu ]\,{\xrightarrow {d}}\,N(0,\sigma ^{2})},$.

onde $\sigma ^{2}$ é a variância da distribuição Normal e $\mu$ é o valor esperado de $Y_{n}$. Estes valores têm de existir e serem finitos.

Considere também uma função "g" diferenciável em $\mu$.

• Método Delta de 1ª ordem: Considere o caso em que, para o valor especifico $\mu$, $g'(\mu )\neq 0$.Então:

${{\sqrt {n}}[g(Y_{n})-g(\mu )]\,{\xrightarrow {d}}\,N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})}$

• Método delta de 2ª ordem: Considere agora o caso em que, para o valor especifico $\mu$, $g'\left(\mu \right)=0$ mas que $g''\left(\mu \right)\neq 0$. Então,

${\sqrt {n}}\left[g(Y_{n})-g(\mu )\right]{\xrightarrow {d}}\sigma ^{2}{\frac {g''\left(\mu \right)}{2}}\chi _{1}^{2}$, porque o quadrado de uma distribuição normal padrão é uma qui-quadrado $\chi _{1}^{2}$ .

• Método Delta de ordens superiores: Considere finalmente o caso em que a função g é "r" vezes derivável e que, para o valor especifico $\mu$, $g'\left(\mu \right)=g''\left(\mu \right)=...=g^{(r-1)}\left(\mu \right)=0$ mas que a r-ésima derivada $g^{(r)}\left(\mu \right)\neq 0$. Então,

$\left({\sqrt {n}}\right)^{r}\left[g(Y_{n})-g(\mu )\right]{\xrightarrow {d}}\sigma ^{2}{\frac {g^{(r)}\left(\mu \right)}{r!}}Y^{r}$

Exemplos

Exemplo 1

Do Teorema do Limite Central sabemos que ${\sqrt {(}}n)[{\overline {X}}_{n}-\mu ]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2})$.

Consideremos agora $g(x)=1/x$, sabemos que $g'(x)=-1/x^{2}$ que para $\forall x\in$ IR\{0} é diferente de 0.

Então estamos nas condições do Método Delta e podemos afirmar que ${\sqrt {(}}n)[g({\overline {X}}_{n})-g(\mu )]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})={\sqrt {(}}n)[1/{\overline {X}}_{n}-1/\mu ]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}/\mu ^{4})$.

Nota:

$g'(x)=(1/x)'=-1/x^{2}$

$[g'(x)]^{2}=[-1/x^{2}]^{2}=1/x^{4}$

$[g'(\mu )]^{2}=1/\mu ^{4}$

Exemplo 2

Ver artigo principal: distribuição de Bernoulli

Suponha $Y_{1},Y_{2},...,Y_{n}$ variáveis aleatórias independentes com distribuição de Bernoulli (p). O parâmetro de interesse típico é $p=E\left[Y\right]$, a probabilidade de sucesso, mas outro parâmetro popular é ${\left(p\right)/\left(1-p\right)}$, que mede a chance. Por exemplo, se os dados representam os resultados de uma moeda viciada com p=2/3 para "cara", então a moeda tem chance 2:1 de mostrar o resultado "cara".

Vamos considerar a utilização de ${\left({\hat {p}}\right)/\left(1-{\hat {p}}\right)}$ como uma estimativa para ${\left(p\right)/\left(1-p\right)}$. Ou seja, vamos jogar a moeda "n" vezes, contar o número de caras e obter ${\hat {p}}=\left(\sum _{i=1}^{N}Y_{i}\right)/n$ a partir desta amostra de n observações, e utilizar este p estimado (${\hat {p}}$) como estimativa para o verdadeiro parâmetro p. Nosso interesse, agora, é saber a variância de ${\left({\hat {p}}\right)/\left(1-{\hat {p}}\right)}$. O método delta permite obter uma resposta aproximada, já que uma resposta exata não é possível.

Vamos então definir a função $g(p)={\frac {p}{1-p}}$. Portanto, $g'(p)={\frac {1}{\left(1-p\right)^{2}}}$.

Pelo método delta, teremos que:

${\begin{matrix}Var\left({\frac {\hat {p}}{1-{\hat {p}}}}\right)&\approx &\left[g'(p)\right]^{2}Var\left({\hat {p}}\right)\\\ &\approx &\left[{\frac {1}{\left(1-p\right)^{2}}}\right]^{2}{\frac {p\left(1-p\right)}{n}}\end{matrix}}$

Demonstração

Sabemos que ${\sqrt {(}}n)[Y_{n}-\mu ]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2})<=>{\sqrt {(}}n)[{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]{\xrightarrow {d}}N(0,1)$

Sabemos também que $g'(\mu )\neq 0$, existe e é finito.

O desenvolvimento em série de Taylor de $g(Y_{n})$ em torno de valor $\mu$ é

$g(Y_{n})=g(\mu )+g'(\mu )[y_{n}-\mu ]+o_{1}<=>$

onde $o_{1}\rightarrow 0$ quando $Y_{n}\rightarrow \mu$

$g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )[Y_{n}-\mu ]+0_{1}<=>$

$g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma [{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}<>$

$g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma [{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}<=>$

${\sqrt {(}}n)g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma {\sqrt {(}}n)[{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}<=>$ usando o teorema de Slutsky

${\sqrt {(}}n)g(Y_{n})-g(\mu )=g'(\mu )\sigma {\sqrt {(}}n)[{\frac {Y_{n}-\mu }{\sigma }}]+0_{1}{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})$

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${{\sqrt {n}}[g(Y_{n})-g(\mu )]{\xrightarrow {d}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\mu )]^{2})}$

Ver também

• Teorema do Limite Central