Métodos de integração

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
(Redirecionado de Métodos de Integração)
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita nenhuma fonte ou referência, o que compromete sua credibilidade (desde Julho de 2014).
Por favor, melhore este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto por meio de notas de rodapé. Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoYahoo!Bing. Veja como referenciar e citar as fontes.

Os métodos ou técnicas de integração são muito importantes para a resolução de integrais que aparentemente não possuem uma primitiva elementar. As técnicas mais usuais são a da substituição, por partes e por frações parciais.

Integração por substituição[editar | editar código-fonte]

Considere a seguinte integral:

\int f(g(x))g'(x) dx

A substituição consiste simplesmente em aplicar uma mudança de variáveis u = g(x), onde g(x) é uma função qualquer contínua no domínio de integração. Fazendo du =
g'(x)dx:

\int f(u)du

Esta técnica, que é fruto da regra da cadeia para derivadas, é muito útil quando a função a ser integrada pode ser representada como um produto de funções, onde uma é derivada da outra (podendo diferir de uma constante).

Nem sempre a substituição adequada é evidente; muitas vezes é necessário fazer substituições pouco intuitivas (tais como substituição através de funções trigonométricas). Para tal, são necessários prática e alto poder de carteação.

Substituições trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As substituições trigonométricas são muito úteis quando encontramos integrais contendo expressões da forma:

\sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2},\sqrt{x^2-a^2}

Neste caso, as substituições adequadas são:

\begin{matrix} \sqrt{a^2-x^2} \qquad & x=a\sin u \quad & dx=a\cos u\,du \quad & \sqrt{a^2-x^2} = a\cos u \\ \sqrt{a^2+x^2} \qquad & x=a\tan u \quad & dx=a\sec^2 u\,du \quad & \sqrt{a^2+x^2} = a\sec u  \\ \sqrt{x^2-a^2} \qquad & x=a\sec u \quad & dx=a\sec u\tan u\,du \quad & \sqrt{x^2-a^2} = a\tan u \end{matrix}

Passos para a integração:.
Passo 1: Faça uma escolha para u. Ex.: u = g(x).
Passo 2: Calcule du/dx = g'(x).
Passo 3: Faça a substituição u = g(x), du = g'(x)dx. Neste ponto a integral deve estar em termos de u. Se isso não acontecer, deve-se tentar uma nova escolha para u.
Passo 4: Calcule a integral resultante, se possível.
Passo 5: Substituir u por g(x); assim, a resposta final estará em termos de x.


Exemplo Considere a integral \int \sqrt{16-x^2}dx usando a substituição x=4 sen \theta, obtem-se dx=4 cos \theta\ d \theta

\int \sqrt{16(1-sen^2 \theta)}  4\ cos \theta\ d\theta
16 \int  \ cos^2 \theta\ d\theta

A integral de Cosseno ao quadrado pode ser feito utilizando integração por partes

u= cos \theta , dv= cos\theta
\int cos^2 \theta\ d\theta = cos \theta\ sen\theta + \int sen^2 \theta\ d\theta
\int cos^2 \theta\ d\theta = cos \theta\ sen\theta + \int 1\  d\theta - \int cos^2 \theta\ d\theta
\int cos^2 \theta\ d\theta= \frac{cos \theta\ sen\theta}{2} + \frac{\theta}{2}

Voltando a equação original

 16  \int cos^2 \theta\ d\theta= 16 (\frac{cos \theta\ Sen\theta}{2} +  \frac{\theta}{2})

Agora deve se voltar a incógnita original, isso pode ser feito traspondo o ângulo \theta para um triângulo retângulo. Nesse caso o triângulo teria hipotenusa de valor 4 e cateto oposto a \theta igual a x, conseqüentemente o cateto adjacente ao ângulo \theta valerá \sqrt{16-x^2}. Estes valores podem ser deduzidos a partir das relações fundamentais da função seno e cosseno. Obtendo assim as seguintes relações:

 cos\theta =\frac {\sqrt{16-x^2}}{4}
 sen \theta = \frac {x}{4}

O ângulo \theta pode ser expresso comoArcSen \frac{x}{4} Obtendo assim a resposta final.

Integração por partes[editar | editar código-fonte]

Pela regra do produto para derivadas, sabe-se que [u(x)v(x)]' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x), com u e v deriváveis. Através de manipulações algébricas, e integrando a equação, temos:

\int u(x)v'(x)\,dx = \int [u(x)v(x)]'\,dx - \int v(x)u'(x)\,dx
\int u(x)v'(x)\,dx = u(x)v(x) - \int v(x)u'(x)\,dx
\int u(x)\,dv = u(x)v(x) - \int v(x)\,du, que é a fórmula da integração por partes.

Com um intervalo de integração definido em [a,b], com derivadas continuas fica-se com:

\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx

Exemplo de aplicação:

A escolha das funções u e v' é arbitrária, ela requer prática e intuição. Depois do exemplo abaixo, algumas regras podem ser feitas para ganhar tempo.

\int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx

se escolhemos  u = \ln(x) , temos  u' = 1/x e  v' = x tem-se  v = x^2/2 , logo :

 \int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2}x\,\mathrm dx = 2ln(2) - \frac{1}{2}\ln(1) - \frac{3}{4}

Por outro lado, se escolhermos  u = x temos  u' = 1 e  v' = \ln(x) tem-se  v = x\ln(x)-x , logo :

 \int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[x(x\ln(x) - x)\right]_{1}^{2} - \int_{1}^{2}(x\ln(x) - x)\,\mathrm dx

De reparar que esta última integral é mais complicada que a anterior.

Integração por frações parciais[editar | editar código-fonte]

A técnica de frações parciais é muito útil na resolução de integrais do tipo:

\int \frac{f(x)}{g(x)h(x)}\,dx

A integral pode ser representada por:

\int \frac{A}{g(x)} + \frac{B}{h(x)}\,dx, no qual A.h(x)+B.g(x)=f(x).

Com isso, muitas vezes é possível dividir a integral em duas, onde a resolução de cada uma torna-se mais fácil pela simplicidade obtida no denominador.


Exemplo de aplicação:

 I = \int \frac{1}{x^2-5x}\,dx
 I = \int \frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}\,dx
\frac{(A + B)x - 5A}{x^2-5x} = \frac{1}{x^2-5x}     (A + B)x - 5A = 1
\left \{ \begin{matrix} A + B = 0 \\ -5A = 1 \end{matrix} \right .
\quad      \quad A=-\frac{1}{5}\,,\quad B=\frac{1}{5}.
 I = \int \frac{-\frac{1}{5}}{x}\,dx + \int \frac{\frac{1}{5}}{x-5}\,dx = \frac{1}{5} \ln\left ( \frac{x-5}{x} \right ) + C. A segunda integral pode ser facilmente resolvida utilizando o método da substituição.