Métodos de integração

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No cálculo integral, os métodos ou técnicas de integração são procedimentos analíticos utilizados para encontrar antiderivadas de funções.[1] [2] Algumas das técnicas mais conhecidas são as de integração por substituição, partes, e frações parciais.

Integração por substituição[editar | editar código-fonte]

Considere a seguinte integral:

\int f(g(x))g'(x) dx

A técnica de integração por substituição consiste em aplicar a mudança de variáveis u = g(x). Desta forma, du =
g'(x)dx o que, substituindo na integral acima, fornece:

\int f(u)du

Esta técnica, é consequência da regra da cadeia para derivadas.[1]

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Considere:

\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx

Tomando u = x^2 + 5, temos du = 2x\,dx. Segue que:

\int \frac{2x}{x^2 + 5}\,dx = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + C = \ln |x^2 + 5| + C.

Integração por partes[editar | editar código-fonte]

A técnica de integração por partes é uma consequência da regra do produto para derivadas. Ela estabelece que:[1] [2]

\int u(x)\,dv = u(x)v(x) - \int v(x)\,du.

Para integrais definidas, a fórmula análoga é:

\int_a^b u(x) v'(x)\,\mathrm dx = \Bigl[u(x) v(x)\Bigr]_a^b - \int_a^b u'(x) v(x) \,\mathrm dx

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral definida:

\int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx .

Tomando:

 \begin{align}
u=\ln(x) &\Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\
dv = x dx &\Rightarrow v = \frac{x^2}{2}+C
\end{align}

Seque, da integração por partes que:

 \int_{1}^{2}x\ln(x) \,\mathrm dx = \left[\frac{x^2}{2}\ln(x)\right]_{1}^{2} - \frac{1}{2} \int_{1}^{2}x\,\mathrm dx = 2\ln(2) - \frac{3}{4}.

Substituições trigonométricas[editar | editar código-fonte]

As substituições trigonométricas são muitas vezes úteis para calcular integrais contendo expressões da forma \sqrt{a^2-x^2}, \sqrt{a^2+x^2}, ou \sqrt{x^2-a^2}. Nestes casos, as substituições sugeridas são:[1] [2]

Expressão Substituição Elemento infenitesimal Expressão resultante
\sqrt{a^2-x^2} x=a\text{sen }u dx=a\cos u\,du \sqrt{a^2-x^2} = a\cos u
\sqrt{a^2+x^2} x=a\text{tg }u dx=a\sec^2 u\,du \sqrt{a^2+x^2} = a\sec u
\sqrt{x^2-a^2} x=a\sec u dx=a\sec u\text{tg }u\,du \sqrt{x^2-a^2} = a\text{tg }u

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Considere a integral \int \sqrt{16-x^2}dx. Usando a substituição x=4\text{sen }\theta, obtem-se dx=4\cos \theta\ d\theta. Seque que:

\begin{align} \int \sqrt{16-x^2}dx &= \int \sqrt{16(1-\text{sen}^2 \theta)}  4\cos \theta\ d\theta \\
 &= 16 \int  \cos^2 \theta\ d\theta\end{align}.

A integral de cosseno ao quadrado pode ser calculada utilizando integração por partes, tomando:

u= cos \theta, dv= cos\theta,

temos:

\begin{align} \int \cos^2 \theta\ d\theta &= \cos \theta\text{sen }\theta + \int \text{sen}^2 \theta\ d\theta\\
 &= \cos \theta\text{sen }\theta + \int d \theta - \int \cos^2 \theta\ d\theta\end{align}
 \Rightarrow \int \cos^2 \theta\ d\theta = \frac{\cos \theta\text{sen }\theta}{2} + \frac{\theta}{2}

Daí, segue que:

 \int \sqrt{16-x^2}dx = 16 \left(\frac{\cos \theta\text{sen }\theta}{2} +  \frac{\theta}{2}\right)

Da substituição feita x = 4\text{sen }\theta concluímos que:

\int \sqrt{16-x^2}dx = \frac{x\sqrt{16 - x^2}}{2} + 2\text{arc sen } x + C

onde, C é uma constante indeterminada.

Integração por frações parciais[editar | editar código-fonte]

A técnica de frações parciais é utilizada para o cálculo de integrais de funções racionais.[1] [2] [3] Considere:

\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx

onde, P(x) e Q(x) são polinômios. Notamos que, por divisão de polinômios, encontrar polinômios S(x) e R(x) tais que:

\frac{P(x)}{Q(x)} = S(x) + \frac{R(x)}{Q(x)}

sendo R(x) um polinômio de grau menor que Q(x). O método segue da fatoração de Q(x) em polinômios irredutíveis, i.e. escrevemos:

Q(x) = (a_1x + b_1)^{l_1}\cdots (a_nx + b_n)^{l_n}(c_1x^2 + d_1x + e_1)^{p_1}\cdots (c_m x^2 + d_m x + e_m)^{p_m}.

Com isso, podemos encontrar constantes A_{1,1}, \ldots, A_{n,l_1\cdots l_n}, B_{1,1}, \ldots, B_{m,p_1\cdots p_n} e C_{1,1}, \ldots, C_{m,p_1\cdots p_n} tais que:

\frac{R(x)}{Q(x)} = \sum_{k=0}^{l_1-1} \frac{A_{1,k}}{(a_1x + b_1)^{l1-k}} + \cdots + \sum_{k=0}^{l_n-1}\frac{A_{n,k}}{(a_nx + b_n)^{l_n-k}} + \sum_{k=0}^{p_1-1} \frac{B_{1,k}x + C_{1,k}}{(c_1 x^2 + d_1 x + e_1)^{p_1-k}} + \cdots + \sum_{k=0}^{p_m-1} \frac{B_{m,k}x + C_{m,k}}{(c_mx^2 + d_mx + e_m)^{p_m-k}}.

Em resumo, temos:

\int \frac{P(x)}{Q(x)}\,dx = \int S(x)\,dx + \int \frac{R(x)}{Q(x)}\,dx

que consiste na integração do polinômio S(x) e de uma série de funções racionais das formas \frac{A}{(ax + b)^l} ou \frac{Bx + C}{(cx^2 + dx + e)^p}. As integrais destas, por sua vez, podem ser calculadas pelos métodos de integração discutidos acima.

Exemplo:[editar | editar código-fonte]

Considere:

 \int \frac{1}{x^2-5x}\,dx

Temos Q(x) = x^2 -5x = x(x - 5), logo:

 \frac{1}{x^2 -5x} = \frac{A}{x}+\frac{B}{x-5}\,dx

donde encontramos que 1 = A(x-5) + Bx, i.e. A = -1/5 e B = 1/5. Daí:

\begin{align} \int \frac{1}{x^2-5x}\,dx &= -\frac{1}{5}\int \frac{dx}{x} + \frac{1}{5}\int \frac{dx}{x-5} 
&= -\frac{1}{5}\ln |x| + \frac{1}{5}\ln |x-5| + C 
&= \frac{1}{5}\ln \left|\frac{x+5}{x}\right| + C\end{align}

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d e Anton, Howard. Cálculo - Volume 1. 10. ed. [S.l.]: Bookman, 2014. ISBN 9788582602256.
  2. a b c d Stewart, James. Cálculo - Volume 1. 7. ed. [S.l.]: Cengage, 2013. ISBN 9788522112586.
  3. Leithold, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica - Vol. 1. 3. ed. [S.l.]: HARBRA, 1994. ISBN 8529400941.