Métrica (matemática)

Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a idéia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Definição

Dado um conjunto $\mathbb{S}$, uma métrica em $\mathbb{S}$ é uma função

$d:\mathbb{S}\times\mathbb{S}\to\mathbb{R}$

que possui as seguintes propriedades:

• É positivamente definida, ou seja, é tal que

$d(x,y) \ge 0$

para todos os $x,y \in \mathbb{S}$.

• É simétrica, ou seja, é tal que

$d(x,y)=d(y,x)\,$

para todos os elementos x,y de $\mathbb{S}$.

• Obedece a desigualdade triangular; para todos os x,y,z elementos de $\mathbb{S}$, d satisfaz

$d(x,z)\le d(x,y) + d(y,z).$

• É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,

$d(x,y)=0 \iff x=y.$

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudo-métrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

• $d(x,y)=|x-y|\,$

Uma forma de medir distâncias

No conjunto $\mathbb{R}^n$ várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

• $d(x,y)=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p}$
• $d(x,y)=max|x_i-y_i|\,$

No conjunto das funções contínuas no intervalo [a,b], C⁰[a,b]:

• $d(f,g)=\sup_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|$
• $d(f,g)=\int_a^b|f(x)-g(x)|$

Em um conjunto $\mathbb{S}$ qualquer, a métrica discreta:

• $d(x,y)=\left\{ \begin{array}{ll} 0, & x=y\\ 1, & x\neq y \end{array} \right.$

Bolas

As bolas abertas de raio r e centro x em um espaço métrico $\mathbb{S}$ são denotadas por:

$B(x,r)=\left\{y\in\mathbb{S}: d(x,y)<r \right\}.$

Analogamente, as bolas fechadas de raio r e centro x em um espaço métrico $\mathbb{S}$ são denotadas por:

$\bar{B}(x,r)=\left\{y\in\mathbb{S}: d(x,y)<=r \right\}.$

Métrica induzida por uma norma

Seja $\|.\|$ uma norma em um espaço $\mathbb{S}$, então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

$d(x,y)=\|x-y\|$

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaçõ pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja $\tau_d \subset \wp(\mathbb{S})$ o conjunto

$\tau_d = \left\{ A \subset \mathbb{S} \mid \forall x \in A,\, \exists r>0 \text{ tal que } B(x,r) \subset A \right\}.$

Em outras palavras, todo elemento A de tau_d é um subconjunto de S em que cada elemento $x \in A\,$ é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: $x \in B \subseteq A \subseteq S\,$.

Verifica-se facilmente que τ_d é uma topologia sobre $\mathbb{S}$. Essa é a topologia induzida por d sobre $\mathbb{S}$.

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de $\mathbb{S}$ forma uma base para a topologia τ_d.

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência

Uma seqüência $\left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty}$ é dita convergente para uma ponto x se:

$\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0$

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

$\lim_{n,m\to\infty}d(x_n,x_m)=0$

Completeza

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes

• Duas métricas, d1 e d2, sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
• Duas métricas, d1 e d2, sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, C₁ e C₂ tais que:

$C_1 d_1(x,y)\leq d_2(x,y) \leq C_2 d_1(x,y)$

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.