Métrica (matemática)

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Em Matemática, métrica é um conceito que generaliza a ideia geométrica de distância. Um conjunto em que há uma métrica definida recebe o nome de espaço métrico.

Definição[editar | editar código-fonte]

Dado um conjunto \mathbb{S}, uma métrica em \mathbb{S} é uma função

d:\mathbb{S}\times\mathbb{S}\to\mathbb{R}

que possui as seguintes propriedades:

  • É positivamente definida, ou seja, é tal que
d(x,y) \ge 0

para todos os x,y \in \mathbb{S}.

  • É simétrica, ou seja, é tal que
d(x,y)=d(y,x)\,

para todos os elementos x,y de \mathbb{S}.

d(x,z)\le d(x,y) + d(y,z).
  • É nula apenas para pontos coincidentes. Ou seja,
d(x,y)=0 \iff x=y.

No âmbito da relatividade, ao espaço-tempo está associada uma pseudo-métrica, já que para dois pontos diferentes o quadrado da "distância" (aqui entendida como o comprimento da geodésica entre dois pontos distintos) pode ser zero para pontos distintos e mesmo negativa.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

No conjunto dos números reais, a métrica usual é dada por:

  • d(x,y)=|x-y|\,
Uma forma de medir distâncias

No conjunto \mathbb{R}^n várias métricas podem ser definidas, por exemplo:

  • d(x,y)=\sqrt[p]{\sum_{i=1}^n|x_i-y_i|^p}
  • d(x,y)=max|x_i-y_i|\,

No conjunto das funções contínuas no intervalo [a,b], C^0[a,b]:

  • d(f,g)=\sup_{x\in [a,b]}|f(x)-g(x)|
  • d(f,g)=\int_a^b|f(x)-g(x)|

Em um conjunto \mathbb{S} qualquer, a métrica discreta:

  • d(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
0, & x=y\\
1, & x\neq y
\end{array}
\right.

Bolas[editar | editar código-fonte]

As bolas abertas de raio r e centro x em um espaço métrico \mathbb{S} são denotadas por:

B(x,r)=\left\{y\in\mathbb{S}: d(x,y)<r \right\}.

Analogamente, as bolas fechadas de raio r e centro x em um espaço métrico \mathbb{S} são denotadas por:

\bar{B}(x,r)=\left\{y\in\mathbb{S}: d(x,y)\le r \right\}.

Métrica induzida por uma norma[editar | editar código-fonte]

Seja \|.\| uma norma em um espaço \mathbb{S}, então pode-se definir uma métrica neste espaço por:

d(x,y)=\|x-y\|

Os axiomas da métrica serão automaticamente satisfeitos.

Topologia induzida por uma métrica[editar | editar código-fonte]

A todo espaço métrico está associado, de forma canônica, um espaço topológico. Este espaçõ pode ser definido de várias maneiras equivalentes.

Seja \tau_d \subset \wp(\mathbb{S}) o conjunto

\tau_d = \left\{ A \subset \mathbb{S} \mid \forall x \in A,\, \exists r>0 \text{ tal que } B(x,r) \subset A \right\}.

Em outras palavras, todo elemento A de taud é um subconjunto de S em que cada elemento x \in A\, é também elemento de uma bola aberta B que é subconjunto de A: x \in B \subseteq A \subseteq S\,.

Verifica-se facilmente que \tau_d é uma topologia sobre \mathbb{S}. Essa é a topologia induzida por d sobre \mathbb{S}.

Note que o conjunto de todas as bolas abertas de \mathbb{S} forma uma base para a topologia \tau_d.

Por exemplo, a métrica discreta induz a topologia discreta.

Limitação[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito limitado se estiver contido em uma bola de raio finito.

Convergência[editar | editar código-fonte]

Uma seqüência \left\{x_n\right\}_{n=1}^{\infty} é dita convergente para uma ponto x se:

\lim_{n\to\infty}d(x_n,x)=0

Uma seqüência é dita de Cauchy se:

\lim_{n,m\to\infty}d(x_n,x_m)=0

Completeza[editar | editar código-fonte]

Um espaço métrico é dito completo se toda seqüência de Cauchy é convergente.

Todo espaço métrico admite um completamento, veja espaço completo.

Métricas equivalentes[editar | editar código-fonte]

  • Duas métricas, d_1 e d_2, sobre o mesmo espaço métrico são ditas equivalentes se induzirem a mesma topologia.
  • Duas métricas, d_1 e d_2, sobre o mesmo espaço métrico são ditas uniformemente equivalentes se existirem duas constantes positivas, C_1 e C_2 tais que:
C_1 d_1(x,y)\leq d_2(x,y) \leq C_2 d_1(x,y)

Obs.: Métricas uniformemente equivalentes são equivalentes.

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