Mínimos quadrados em dois estágios

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Em Econometria, o método dos mínimos quadrados em dois estágios (2SLS, na sigla em inglês, ou MQ2E, em Português) é uma técnica estatística que é utilizada na análise de equações estruturais. Esta técnica é a extensão do método dos mínimos quadrados ordinários (sigla OLS ou MQO). É usado quando a o termo de erro é correlacionado com as variáveis ​​independentes. Além disso, é útil quando há "feedback loops" no modelo. Na modelagem de equações estruturais, usa-se o método de máxima verossimilhança para estimar a trajetória do coeficiente.[1]

Estimação[editar | editar código-fonte]

Suponha que os dados sejam gerados por uma equação na forma

 y_i = x_i' \beta + \varepsilon_i,\,, onde:
  • i denota o número da observação (1 ≤ i ≤ n),
  • y_i é a variável dependente,
  • x_i é o vetor de regressores, de dimensão p,
  • \varepsilon_i é o termo de erro não observado, que representa tudo de y_i que x_i não conseguiu explicar, e
  • \beta é um vetor não observado.

Esta equação também pode ser escrita em forma matricial como:[2]

Y = X \beta + \varepsilon,\,, onde:
  • Y é um vetor coluna de dimensão n,
  • X é uma matriz de dimensões n x p (matriz dos regressores),
  • β é um vetor não observado,
  • ε é um vetor de erros.

Se o termo de erro for não correlacionado com as variáveis independentes, podemos estimar o modelo através de mínimos quadrados ordinários, pois o estimador será não-viesado e consistente:[2]

 \widehat{\beta}_\mathrm{OLS} = (X' X)^{-1} X' Y = (X' X)^{-1} X' (X \beta + \varepsilon ) = \beta + (X' X)^{-1} X' \varepsilon\,

Mas se o termo de erro for correlacionado com alguma das variáveis independentes do vetor X, então não é possível estimar por OLS, pois o estimador de  {\beta}_\mathrm{OLS},  \widehat{\beta}_\mathrm{OLS} em geral será viesado e inconsistente.[2]

O estimador consistente então será [2]

 \widehat{\beta}_\mathrm{IV} = (X'P_Z X)^{-1}X'P_Z Y,\,

em que

P_Z=Z(Z'Z)^{-1}Z'\,

sendo Z a matriz de variáveis instrumentais.[2]

Referências

  1. Two-Stage Least Squares (2SLS) Regression Analysis. Disponível em: <http://www.statisticssolutions.com/resources/directory-of-statistical-analyses/two-stage-least-squares-2sls-regression-analysis>. Acesso em: 23 de junho de 2011.
  2. a b c d e Daniel L. McFadden, Curso de Economia [em linha]
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