Música e matemática

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Os teóricos da música com frequência usam a matemática para entender a estrutura musical e comunicar novas maneiras de ouvir música. Isto levou a aplicações musicais da teoria dos conjuntos, álgebra abstrata e teoria dos números. Os estudiosos da música também usaram a matemática para entender as escalas musicais, e alguns compositores incorporaram a proporção áurea e o número de Fibonacci em seu trabalho.[1]

Conexões com a teoria dos conjuntos[editar | editar código-fonte]

A teoria musical dos conjuntos usa alguns dos conceitos da teoria matemática dos conjuntos para organizar os objetos musicais e descrever suas relações.

Para analisar a estrutura de uma peça musical (tipicamente de atonal) usando a teoria musical dos conjuntos, começa-se geralmente com um conjunto de sons, que podem formar motivos ou acordes. Aplicando operações simples como transposição e inversão descobre-se estruturas profundas na música. Esse tipo de operação é chamado de isometria, porque preserva os intervalos entre sons num conjunto.

Conexões com a álgebra abstrata[editar | editar código-fonte]

Partindo dos métodos da teoria musical dos conjuntos, muitos teóricos expandiram para o uso da álgebra abstrata na análise musical. Por exemplo, as notas em uma oitava de temperamento igual formam um grupo abeliano com 12 elementos. É possível descrever o temperamento justo em termos de um grupo abeliano livre[2] .

Alguns teóricos propuseram aplicações musicais de conceitos algébricos mais sofisticados. O matemático Guerino Mazzola aplicou a teoria topos à música, mas o resultado é controvertido.

A escala cromática tem uma ação livre e transitiva de \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}, com a ação sendo definida via transposição de notas. Logo, a escala cromática pode ser vista como um torsor para o grupo \mathbb{Z}/12\mathbb{Z}.

Conexões com a teoria dos números[editar | editar código-fonte]

A interpretação moderna do temperamento justo é inteiramente baseada no teorema fundamental da aritmética.

A proporção áurea e o número de Fibonacci[editar | editar código-fonte]

Acredita-se que alguns compositores escreveram sua música usando a proporção áurea e os números de Fibonacci para auxiliá-los.[3] . Para o ouvinte, no entanto, não é possível determinar o quanto esse uso é intencional ou inconsciente.

Ernő Lendvai analisa os trabalhos de Béla Bartók como baseados em dois sistemas opostos: a proporção áurea e a escala acústica. Em Música para cordas, percussão e celesta, a progressão do xilofone no começo do terceiro movimento ocorre nos intervalos 1:2:3:5:8:5:3:2:1. O compositor francês Eric Satie usou a proporção áurea em Sonneries de la Rose Croix e outra peças, o que deu a sua música um senso de simetria.

A proporção áurea é notada também na organização das seções da música Reflets dans l'eau de Images pour piano, de Claude Debussy, organizada segundo intervalos de 34, 21, 13 e 8 (uma sequência de Fibonacci descendente), e o clímax se situa na posição φ.

Sistemas de afinação[editar | editar código-fonte]

Uma escala musical é um seqúência discreta de sons usados para fazer ou descrever música. A escala tem um intervalo de repetição, normalmente a oitava. Isto significa que para cada nota na escala temos um som correspondente uma oitava acima e uma oitava abaixo, apesar dos limites do ouvido humano para eles. Como estamos geralmente interessados nas relações ou razões entre as alturas (conhecidas como intervalos e não nas alturas precisas em si mesmas para descrever a escala, é comum nos refirmos a todas as alturas da escala em termos de sua razão a partir de uma altura particular, à qual é dada o valor um (escrita geralmente 1/1 quando se discute a entonação justa). Esta nota pode, mas não necessariamente, ser uma que funcione como tônica da escala. Para afinações que usam números irracionais (i.e., temperamentos), ou para comnparação do tamanho de intervalos, usa-se geralmente os cents.


Afinação pitagórica[editar | editar código-fonte]

Entonação justa[editar | editar código-fonte]

Nota Razão Intervalo
0 1:1 uníssono
1 135:128 segunda menor
2 9:8 segunda maior
3 6:5 terça menor
4 5:4 terça maior
5 4:3 quarta perfeita
6 45:32 trítono diatônico
7 3:2 quinta justa
8 8:5 sexta menor
9 27:16 sexta maior
10 9:5 sétima menor
11 15:8 sétima maior
12 2:1 oitava

Matemática das escalas musicais[editar | editar código-fonte]

Temperamento igual[editar | editar código-fonte]

Amostras de sons[editar | editar código-fonte]

Frequência e altura[editar | editar código-fonte]

Percepção[editar | editar código-fonte]

Nota Frequência (Hz) Frequência
Distância da
nota anterior
Log frequência
log2 f
Log frequência
Distância da
nota anterior
2 110.00 N/A 6.781 N/A
2# 116.54 6.54 6.864 0.0833 (or 1/12)
si2 123.47 6.93 6.948 0.0833
2 130.81 7.34 7.031 0.0833
2# 138.59 7.78 7.115 0.0833
2 146.83 8.24 7.198 0.0833
2# 155.56 8.73 7.281 0.0833
mi2 164.81 9.25 7.365 0.0833
2 174.61 9.80 7.448 0.0833
2# 185.00 10.39 7.531 0.0833
sol2 196.00 11.00 7.615 0.0833
sol2# 207.65 11.65 7.698 0.0833
3 220.00 12.35 7.781 0.0833
Identidade

harmônica

Nome comum Exemplo Múltiplo de

Freq. Fundamental

Razão

(esta identidade/última oitava)

1 Fundamental 2 - 110 Hz 1x 1/1 = 1x
2 Oitava 3 - 220 Hz 2x 2/1 = 2x (also 2/2 = 1x)
3 Quinta Perfeita mi3 - 330 Hz 3x 3/2 = 1.5x
4 Oitava 4 - 440 Hz 4x 4/2 = 2x (also 1x)
5 Terça Maior dó#4 - 550 Hz 5x 5/4 = 1.25x
6 Quinta Perfeita mi4 - 660 Hz 6x 6/4 = 1.5x
7 "Sétima Perfeita" sol#4 - 770 Hz 7x 7/4 = 1.75x
8 Oitava 5 - 880 Hz 8x 8/4 = 2x (also 1x)
Identidade Harmônica Nome comum Ponto Linear
Escala Exponential
Ponto Linear
Escala Normalizada (linear)
1 fundamental 1/1 = 1x log2(1.0) = 0.00
2 oitava 2/1 = 2x log2(2.0) = 1.00
3 quinta perfeita 3/2 = 1.5x log2(1.5) = 0.585
4 oitava 4/2 = 2x log2(2.0) = 1.00
5 terça maior 5/4 = 1.25x log2(1.25) = 0.322
6 quinta perfeita 6/4 = 1.5x log2(1.5) = 0.585
7 "sétima perfeita" 7/4 = 1.75x log2(1.75) = 0.807
8 oitava 8/4 = 2x log2(2.0) = 1.00

Veja também[editar | editar código-fonte]

Referências

Ligações externas[editar | editar código-fonte]


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