Martingale (teoria da probabilidade)

Em teoria da probabilidade, um martingale é um processo estocástico (i.e., uma sequência de variáveis aleatórias) tal que o valor esperado condicional de uma observação em um tempo t, dadas todas as observações até algum tempo anterior s, é igual a observação no tempo anterior s.

Definições

Um martingale discreto no tempo é um processo estocástico discreto X₁, X₂, X₃, ... que satisfaz para qualquer n

$\mathbf{E} ( \vert X_n \vert )< \infty$

$\mathbf{E} (X_{n+1}\mid X_1,\ldots,X_n)=X_n,$

i.e., o valor esperado condicional da próxima observação, dadas todas as observações passadas, é igual à última observação.

De maneira similar, um martingale contínuo no tempo é um processo estocástico X_t tal que para qualquer t

$\mathbf{E} ( \vert X_t \vert )<\infty$

$\mathbf{E} ( X_{t} \mid \{ X_{\tau}, \tau \leq s \} ) = X_s, \ \forall\ s \leq t.$

Isso expressa a propriedade de que a expectância condicional de uma observação no tempo t, dadas todas as observações até o tempo $s$, é igual à observação no tempo s (logicamente, dado que s ≤ t).