Matriz alternante

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Em álgebra linear, uma matriz alternante, é uma matriz com uma estrutura particular, na qual as colunas sucessivas têm uma função particular aplicada às suas entradas. Um determinante alternante é o determinante de uma matriz alternante. Essa matriz de tamanho m × n matriz pode ser escrita assim:

M=\begin{bmatrix}
f_1(\alpha_1) & f_2(\alpha_1) & \dots & f_n(\alpha_1)\\
f_1(\alpha_2) & f_2(\alpha_2) & \dots & f_n(\alpha_2)\\
f_1(\alpha_3) & f_2(\alpha_3) & \dots & f_n(\alpha_3)\\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
f_1(\alpha_m) & f_2(\alpha_m) & \dots & f_n(\alpha_m)\\
\end{bmatrix}

ou de forma mais sucinta

M_{i,j} = f_j(\alpha_i)

para todos os índices i e j. (Alguns autores utilizam a transposta da matriz acima)


Exemplos de matrizes alternantes incluem matrizes de Vandermonde, para as quais f_i(\alpha)=\alpha^{i-1} e matrizes de Moore para as quais f_i(\alpha)=\alpha^{q^{i-1}}.

Se n = m e as f_j(x) funções são todas polynomials, temos alguns resultados adicionais: Se \alpha_i = \alpha_j para qualquer i < j então o determinante de qualquer matriz alternante é zero (como uma fileira é então repetida), portanto (\alpha_j - \alpha_i) divide o determinante por todos 1 \leq i < j \leq n. Dessa forma, se tomarmos


V = \begin{bmatrix}
1 & \alpha_1 & \dots & \alpha_1^{n-1} \\
1 & \alpha_2 & \dots & \alpha_2^{n-1} \\
1 & \alpha_3 & \dots & \alpha_3^{n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots &\vdots \\
1 & \alpha_n & \dots & \alpha_n^{n-1} \\
\end{bmatrix}

(Uma matriz de Vandermonde então \prod_{i < j} (\alpha_j - \alpha_i) = \det V divide tais alternantes determinantes polinomiais. A razão \frac{\det M}{\det V} é chamada uma bialternante. No caso em que cada função f_j(x) = x^{m_j}, isto constitui a definição clássica de polinômio de Schurnota 1

Matrizes alternantes são utilizados em teoria da codificação na construção de códigos alternante.

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Notas

  1. Polinômios de Schur, em homenagem a Issai Schur, são certos polinómios simétricos em variáveis n, indexadas por partições, que generalizam os polinômios simétricos elementares e os completos polinômio homogêneos simétricos.

Referências

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