Matriz congruente

Em matemática, matriz congruente é uma relação de equivalência no conjuntos das matrizes reais quadradas. Duas matriz $A$ e $B$ são congruentes, se existe uma matriz invertível $P$, do mesmo tipo, tal que $A=P^{T}BP$.

Definição

Uma matriz real quadrada $n\times n$ $A$ é congruente à matriz real quadrada $n\times n$ $B$ quando existe uma matriz $P$ invertível tal que $A=P^{T}BP$.

Observamos que esta definição exige que $P$ seja uma matriz quadrada de mesma ordem de $A$ e $B$.

Relação de equivalência

A relação de congruência define uma relação de equivalência no conjunto das matrizes reais quadradas $\mathbb {M} _{n}$, i.e.:

1. (reflexividade) toda matriz $A\in \mathbb {M} _{n}$ é congruente a si mesma;
2. (simetria) se $A\in \mathbb {M} _{n}$ é congruente a $B\in \mathbb {M} _{n}$, então $B$ é congruente a $A$;
3. (transitividade) se $A\in \mathbb {M} _{n}$ é congruente a $B\in \mathbb {M} _{n}$ e $B$ é congruente a $C\in \mathbb {M} _{n}$, então $A$ é congruente a $C$.

Da relação de simetria, vemos que está bem definido dizer que duas matrizes são congruentes (como exposto na introdução).

Demonstração

1. Basta observar que $A=I_{n}^{T}AI_{n}$, onde $I_{n}$ é a matriz identidade em $\mathbb {M} _{n}$.
2. Se $A\in \mathbb {M} _{n}$ é congruente a $B\in \mathbb {M} _{n}$, então, por definição, existe $P\in \mathbb {M} _{n}$ invertível tal que $A=P^{T}BP$. Escolhendo $Q=P^{-1}$, vemos que $B=Q^{T}AQ$, i.e. $B$ é congruente a $A$.
3. Se $A\in \mathbb {M} _{n}$ é congruente a $B\in \mathbb {M} _{n}$ e $B$ é congruente a $C\in \mathbb {M} _{n}$, então existem $P,Q\in \mathbb {M} _{n}$ tais que $A=P^{T}BP$ e $B=Q^{T}CQ$. Mas, então, temos $A=P^{T}(Q^{T}CQ)P=(QP)^{T}C(QP)$, i.e. $A$ é congruente a $C$.

Aplicações

Matrizes de uma forma bilinear

Seja $f:V\times V\to \mathbb {R}$ uma forma bilinear, onde $V$ é um espaço euclidiano de dimensão finita $n$. Seja, ainda, $B_{u}=\{\mathbf {u} _{1},\mathbf {u} _{2},\ldots ,\mathbf {u} _{n}\}$ e $B_{v}=\{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{n}\}$ duas bases para $V$. Então, são congruentes as matrizes $A=[f(\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j})]_{i,j=1}^{n,n}$ e $B=[f(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})]_{i,j=1}^{n,n}$ da forma bilinear nas bases $B_{u}$ e $B_{v}$, respectivamente.

Demonstração

Sejam $\mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V$ e suas representações nas bases $B_{u}$ e $B_{v}$:

$\mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {u} _{i}=\sum _{i=1}^{n}c'_{i}\mathbf {v} _{i}$

${\text{e}}\quad \mathbf {v} =\sum _{i=1}^{n}d_{i}\mathbf {u} _{i}=\sum _{i=1}^{n}d'_{i}\mathbf {v} _{i}$.

Seja, agora, $P$ a matriz de mudança da base $B_{v}$ para a base $B_{u}$, i.e.:

$\mathbf {c} =P\mathbf {c} '\quad {\text{e}}\quad \mathbf {d} =P\mathbf {d} '\quad$

onde, $\mathbf {c} =(c_{1},c_{2},\ldots ,c_{n})$ e notação análoga para $\mathbf {c} '$, $\mathbf {d}$ e $\mathbf {d} '$.

Além disso, temos:

$f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f\left(\sum _{i=1}^{n}c_{i}\mathbf {u} _{i},\sum _{j=1}^{n}d_{j}\mathbf {u} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}c_{i}f(\mathbf {u} _{i},\mathbf {u} _{j})d_{i}$

e

$f(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=f\left(\sum _{i=1}^{n}c'_{i}\mathbf {v} _{i},\sum _{j=1}^{n}d'_{j}\mathbf {v} _{j}\right)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}c'_{i}f(\mathbf {v} _{i},\mathbf {v} _{j})d'i$

donde, $\mathbf {c} ^{T}A\mathbf {d} ={\mathbf {c} '}^{T}B\mathbf {d} '$. O que, por sua vez, implica:

${\mathbf {c} '}^{T}(P^{T}AP)\mathbf {d} '={\mathbf {c} '}^{T}B\mathbf {d} '$.

Como os vetores $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ são arbitrários, temos $B=P^{T}AP$, i.e., $A$ e $B$ são matrizes congruentes. Isso completa a prova.

Matrizes ortogonalmente diagonalizáveis

Se a matriz $A$ é ortogonalmente diagonalizável, então exite uma matriz diagonal $D$ congruente a $A$.

Demonstração

Com efeito, uma matriz $A$ é ortogonalmente diagonalizável se, e somente se, existe uma matriz diagonal $D$ tal que:

$D=P^{-1}AP$

onde, $P$ é uma matriz ortogonal, i.e. $P^{-1}=P^{T}$. Isto é dizer, $D=P^{T}AP$, o que conclui a demonstração.

Ver também

• Matriz semelhante
• Matriz diagonalizável