Matriz de cisalhamento

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A Matriz de Cisalhamento ou Matriz de Corte é matematicamente uma matriz elementar que representa a adição do múltiplo de uma linha ou coluna para outra. Esta matriz pode ser derivada, tendo a Matriz identidade e a substituição de alguns elementos a zero com um ou mais valores diferentes de zero (λ).

Abaixo, uma típica matriz de cisalhamento:

S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & \lambda & 0 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.

O nome Cisalhamento ou Corte refere-se ao fato da matriz representar uma transformação de cisalhamento. Geometricamente, tal transformação leva pares de pontos num espaço linear, que são axialmente separadas ao longo do eixo e cuja linha da matriz contém o elemento de corte, e substitui os pares de pontos cuja separação não é puramente axial, mas tem dois vetores componentes. Assim, o eixo de cisalhamento é sempre um autovetor de S.


Transformações no Plano[editar | editar código-fonte]

T : R2 → R2

Cisalhamento horizontal

T(x, y) = (x+λy, y)


\begin{pmatrix} 
x' \\ y' 
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix} 
x+ \lambda\ y \\ y 
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix}
1 & \lambda \\
0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.

Cisalhamento Vertical T(x, y) = (x, λx+y)


\begin{pmatrix} 
x' \\ y' 
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix} 
x \\ \lambda\ x+y  
\end{pmatrix} 
= 
\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
\lambda\ & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}.


Exemplo de aplicação da Matriz de Cisalhamento em Resistência de Materiais, com os componentes do tensor tensão em uma base ortogonal.

Transformação em 3D[editar | editar código-fonte]

Um exemplo de utilização da matriz de cisalhamento em 3D é em Resistência dos Materiais no cálculo geral de Tensão normal e Tensão de cisalhamento.



[T_C]_{xyz} =
\begin{bmatrix}
  \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\
  \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\
  \sigma_{zx} & \sigma_{zy} & \sigma_{zz}
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
  \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\
  \tau_{yx} & \sigma_y & \tau_{yz} \\
  \tau_{zx} & \tau_{zy} & \sigma_z
\end{bmatrix}


Propriedades[editar | editar código-fonte]

Se S é uma matriz de cisalhamento n×n, então:

  • S tem posto n e portanto é inversível.
  • 1 é o único autovalor de S, então det S = 1 e consequentemente S = n.
  • O autovetor de S tem dimensão n-1.
  • S é assimétrica.
  • S pode ser feita dentro de uma matriz em bloco pela operação de troca de uma linha por uma coluna.
  • Area, Volume, ou qualquer outra medida de capacidade superior, ou Polígono de ordem superior, são invariantes frente a matriz de cisalhamento de vértices do Polígono.


Exemplo de Aplicação Prática[editar | editar código-fonte]

A matriz de cisalhamento pode ser utilizada para transformar o volume de visão obtido através de uma projeção oblíqua em um paralelepípedo regular.

  • Exemplo:

Considerando o vetor de projeção : V_p = (p_x,p_y,p_z) , deve-se encontrar a matriz de cisalhamento que alinhe este vetor com o vetor normal ao plano de visão. Esta transformação é representada pela equação abaixo:


V_p  = V_p S'

Onde S’ representa um cisalhamento no eixo z:

S=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & \lambda_1 & 0  & 0 \\
0 & 1 & \lambda_2 & 0  & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 
\end{pmatrix}.

Para obter-se os parâmetros  : \lambda_1 e \lambda_2 pode-se substituir S’ na equação anterior, obtendo as equações a seguir:

 0=p_x + \lambda_1 p_z
 0=p_y + \lambda_2 p_z

Resultando em:

 \lambda_1 =-p_x/p_z
 \lambda_2= -p_y/p_z


Referências Bibliográficas[editar | editar código-fonte]

  • Boulos, P. & Camargo, I. Geometria Analítica - Um Tratamento Vetorial . Ed. Mc Graw-Hill. 2005.
  • Carvalho, P.C.P. Introdução à geometria espacial”. Coleção Professor de Matemática. SBM, 2005.
  • CROCOMO, M. K. Computação Gráfica - Notas Didáticas – Viewing”. USP – Universidade de São Paulo. ICMC – Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação. São Carlos. 2010.
  • DOLCE, O. & POMPEO, J. N. Geometria Espacial”. Ed. Atual. 2005.
  • Este artigo inclui texto do artigo Shear matrix publicado com licença GNU em CFD online wiki.