Matriz de covariância

Em Estatística e em Teoria das probabilidades, matriz de covariância é uma matriz, simétrica, que sumariza a covariância entre N variáveis.

Definição

Se os elementos de um vetor coluna

$X = \begin{bmatrix}X_1 \\ X_2 \\ \vdots \\ X_n \end{bmatrix}$

forem variáveis aleatórias, cada uma com variância finita, então a matriz de covariância será a matriz cujo elemento (i, j) é a covariância

$\Sigma_{ij} = \mathrm{cov}(X_i, X_j) = \mathrm{E}\begin{bmatrix} (X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j) \end{bmatrix}$

em que

$\mu_i = \mathrm{E}(X_i)\,$

é o valor esperado do i-ésimo elemento do vetor X. Em outras palavras, temos

$\Sigma = \begin{bmatrix} \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_1 - \mu_1)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_2 - \mu_2)(X_n - \mu_n)] \\ \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \\ \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_1 - \mu_1)] & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_2 - \mu_2)] & \cdots & \mathrm{E}[(X_n - \mu_n)(X_n - \mu_n)] \end{bmatrix}$

A covariância entre um elemento $X_i$ e ele mesmo é a sua variância e forma a diagonal principal da matriz. A inversa desta matriz, $\Sigma^{-1}$, é chamada matriz de covariância inversa ou matriz de precisão.

Generalização do conceito

A definição acima é equivalente à multiplicação do vetor coluna pela sua transposta

$\Sigma=\mathrm{E} \left[ \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right) \left( \textbf{X} - \mathrm{E}[\textbf{X}] \right)^\top \right]$

Propriedades

• Todas as matrizes de covariância são positivas semi definidas.

Ver também

• Variância
• Covariância
• Correlação
• Matrizes

Referências

• KAMPEN, N.G. van. Processos Estocásticos em Física e Química. New York: North-Holland, 1981.
• Um Manual de Estatística
• Mean Vector and Covariance Matrix
• Covariance, variance and correlation
• Covariance matrix
• Covariance and Correlation