Matriz de permutação

Na matemática, na álgebra linear, uma matriz de permutação é uma matriz quadrada binária que tem o efeito de gerar uma permutação dos elementos de um vetor ou entre linhas ou colunas de uma matriz. É formada apenas de zeros e uns, sendo o valor de apenas um elemento por linha e por coluna que igual a um.

Matrizes representam transformações lineares.

Permutações são um tipo específico de transformação linear e as matrizes que as representam também são específicas.

Exemplos

Permutação de um vetor de dimensão 1

Com um único elemento, não há permutação que altere o vetor inicial, pois não há mais de um elemento para que a ordem destes seja modificada. Há 1 matriz de permutação neste caso: $\begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}$

Permutação de um vetor de dimensão 2

No caso de um vetor de dimensão dois, apenas 2 permutações são possíveis: a que mantêm o vetor idêntico e a que inverte a ordem de suas coordenadas.

Estas transformações são representadas pelas matrizes:

$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ e $\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Permutação de um vetor de dimensão 3

No espaço de dimensão 3, há 6 possíveis matrizes de permutação. Um exemplo é a matriz

$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Aplicá-la a um vetor $v = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

significa multiplicar à esquerda:

$Av = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}$

Apenas a ordenação dos elementos foi alterada.

Propriedades

Não singular

• O determinante de uma matriz de permutação é sempre = +-1; e
• $A A^T = A^T A = I$,

se $A^T$ é a transposta de $A$.

Comportamento cíclico

Permutações sequências com a mesma regra levarão ao estado inicial ciclicamente.

Ligações externas

• Permutation Matrix