Matriz de permutação

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Na matemática, na álgebra linear, uma matriz de permutação é uma matriz quadrada binária que tem o efeito de gerar uma permutação dos elementos de um vetor ou entre linhas ou colunas de uma matriz. É formada apenas de zeros e uns, sendo o valor de apenas um elemento por linha e por coluna que igual a um.

Matrizes representam transformações lineares.

Permutações são um tipo específico de transformação linear e as matrizes que as representam também são específicas.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Permutação de um vetor de dimensão 1[editar | editar código-fonte]

Com um único elemento, não há permutação que altere o vetor inicial, pois não há mais de um elemento para que a ordem destes seja modificada. Há 1 matriz de permutação neste caso: \begin{pmatrix} 1 \end{pmatrix}

Permutação de um vetor de dimensão 2[editar | editar código-fonte]

No caso de um vetor de dimensão dois, apenas 2 permutações são possíveis: a que mantêm o vetor idêntico e a que inverte a ordem de suas coordenadas.

Estas transformações são representadas pelas matrizes:

\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} e \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

Permutação de um vetor de dimensão 3[editar | editar código-fonte]

No espaço de dimensão 3, há 6 possíveis matrizes de permutação. Um exemplo é a matriz

 A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}

Aplicá-la a um vetor  v = \begin{pmatrix} 1  \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}

significa multiplicar à esquerda:

 Av = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1  \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2  \\ 1 \\ 3 \end{pmatrix}

Apenas a ordenação dos elementos foi alterada.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Não singular[editar | editar código-fonte]

  • O determinante de uma matriz de permutação é sempre = +-1; e
  • A A^T = A^T A = I ,

se A^T é a transposta de A .

Comportamento cíclico[editar | editar código-fonte]

Permutações sequências com a mesma regra levarão ao estado inicial ciclicamente.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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