Matriz ortogonal

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Uma matriz quadrada é dita ortogonal quando a sua transposta coincide com a sua inversa. Isto é, uma matriz quadrada M é ortogonal se:[1] [2] [3]

M^T=M^{-1}

Ou, alternativamente:

MM^T=I_n

Note que uma matriz é ortogonal se e somente se as colunas (ou linhas) são vetores ortonormais.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz quadrada A é dita ser ortogonal quando A^T = A^{-1}.[1] [2]

Exemplos[editar | editar código-fonte]

I_n = \begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1
\end{bmatrix}_{n\times n};
R_\theta = \begin{bmatrix}
\cos\,\theta & \text{sen}\,\theta \\
\text{sen}\,\theta & \cos\,\theta
\end{bmatrix}
R_x = \begin{bmatrix}
1 & 0 \\
0 & -1
\end{bmatrix}

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Matrizes ortogonais possuem as seguintes propriedades:[1]

  1. Se A é uma matriz ortogonal, então \det(A) = \pm 1.
  2. A matriz A é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.
  3. A matriz A é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.
  4. A matriz A é ortogonal se, e somente se, sua transposta A^T também é.
  5. Se A é uma matriz ortogonal, então cA é ortogonal se, e somente se, c=\pm 1.
Demonstração
1. Se A é uma matriz ortogonal, então \det(A) = \pm 1.

Com efeito, A^T = A^{-1} implica \det(A^T) = \det(A^{-1}). Logo, [\det(A)]^2 = 1, donde \det(A) = \pm 1.

2. Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, suas colunas formam um conjunto ortonormal.

Seja A = [\bold{a}_1~\bold{a}_2~\ldots ~\bold{a}_n] uma matriz ortogonal, onde \bold{a}_i indica a i-ésima coluna de A. Como A^T = A^{-1}, temos A^TA = I_n, donde vemos que:

\bold{a}_i\cdot\bold{a}_j = \left\{\begin{array}{ll}1 &,~i=j\\0 &,~i\neq j\end{array}\right.

isto é, o conjunto formado pelos vetores coluna \{\bold{a}_1,\bold{a}_2,\ldots,\bold{a}_n\} é um conjunto ortonormal. Reciprocamente, se as colunas de A formam um conjunto ortonormal de vetores, então vemos por cálculo direto que A^T A = I_n.

3. Uma matriz A é ortogonal se, e somente se, suas linhas formam um conjunto ortonormal.

Segue raciocínio análogo do usado na demonstração da propriedade 2.

4. A matriz A é ortogonal se, e somente se, sua transposta A^T também é.

Segue imediatamente da observação de que:

A^T = A^{-1} \Leftrightarrow (A^T)^T = (A^{-1})^T \Leftrightarrow A = (A^T)^{-1}.
5. Se A é uma matriz ortogonal, então cA é ortogonal se, e somente se, c=\pm 1.

Por hipótese, A^T = A^{-1}. Com isso, temos: (cA)^T = cA^T = cA^{-1}. Agora, cA^{-1} = (cA)^{-1} se, e somente se, c = \pm 1. Isso completa a demonstração.

Ver também[editar | editar código-fonte]


Referências

  1. a b c Kolman, B.. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622086.
  2. a b Strang, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: Cengage, 2010. ISBN 9788522107445.
  3. Lay, David. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622093.

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