Matriz simétrica

Em álgebra linear, uma matriz diz-se simétrica se coincidir com a sua transposta, ou seja, se $A = A^T .$

Propriedades

Seja $A$ uma matriz quadrada de ordem $n.$ Então:

• Se $A$ é simétrica, então para qualquer escalar $k,$ a matriz $k. A$ também é simétrica
• A matriz $B = A + A^T$ é simétrica
• A matriz $B = A - A^T$ é uma matriz anti-simétrica
• $A$ sempre pode ser decomposta como a soma de uma matriz simétrica $S$ com uma matriz anti-simétrica $T,$ isto é, $A = S + T,$ onde:

$S = \frac{1}{2}\left(A + A^T \right)$

$T = \frac{1}{2}\left(A - A^T \right)$

Além disso, deve-se notar que qualquer matriz simétrica:

• É quadrada, isto é, tem tantas linhas quanto colunas;
• Tem todos os valores próprios reais;
• É diagonalizável através de uma matriz ortogonal.

Exemplos

As matrizes a seguir são exemplos de matrizes simétricas:

• A matriz nula, de qualquer ordem;
• A matriz identidade, de qualquer ordem;
• A matriz $A + A^T,$ para qualquer matriz quadrada A.

Ver também

• Matriz anti-simétrica