Matriz unitária

Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição

$U^* U = UU^* = I_n\,$

onde $I_n\,$ é a matriz identidade e $U^* \,$ é o transposto conjugado (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu transposto conjugado $U^* \,$

$U^{-1} = U^* \,\;$

Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais,

$\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle$

assim também uma matriz unitária U satisfaz

$\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle$

para todos os vetores complexos x e y, onde $\langle\cdot,\cdot\rangle$ estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre Cⁿ. Se $U \,$ é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições:

$U \,$ é unitária
$U^* \,$ é unitária
as colunas de $U \,$ formam uma base ortonormal de Cⁿ com respeito ao seu produto interno
as linhas de $U \,$ formam uma base ortonormal de Cⁿ com respeito a este produto interno
$U \,$ é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno

Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante.

Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma

$U = V\Sigma V^*\;$