Matriz unitária

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Em matemática, uma matriz unitária é uma matriz complexa n por n U que satisfaz a condição

U^* U = UU^* = I_n\,

onde I_n\, é a matriz identidade e U^* \, é o transposto conjugado (também chamado operador adjunto ou adjunto Hermitiano) de U. Note-se que esta condição afirma que a matriz U é unitária se e somente se tem uma inversa a qual é igual a seu transposto conjugado U^* \,

U^{-1} = U^* \,\;

Uma matriz unitária na qual todos os valores são reais é a mesma coisa que uma matriz ortogonal. Assim como uma matriz ortogonal G preserva o produto interno (real) de dois vetores reais,

\langle Gx, Gy \rangle = \langle x, y \rangle

assim também uma matriz unitária U satisfaz

\langle Ux, Uy \rangle = \langle x, y \rangle

para todos os vetores complexos x e y, onde \langle\cdot,\cdot\rangle estabelece-se agora para o produto interno padrão sobre Cn. Se U \, é uma matriz n por n então são todas equivalentes as seguintes consições:

  1. U \, é unitária
  2. U^* \, é unitária
  3. as colunas de U \, formam uma base ortonormal de Cn com respeito ao seu produto interno
  4. as linhas de U \, formam uma base ortonormal de Cn com respeito a este produto interno
  5. U \, é uma isometria com respeito à norma de seu produto interno

Decorre da propriedade de isometricidade que todos os valores próprios de uma matriz unitária são números de valor absoluto 1 (i.e., eles residem sobre o círculo unitário centrado no 0 no plano complexo). O mesmo é verdade para o determinante.

Todas as matrizes unitárias são normais, e o teorema espectral portanto aplica-se a elas. Então cada matriz unitária U tem uma decomposição da forma

U = V\Sigma V^*\;

onde V é unitária, e \Sigma é diagonal e unitária.

Para cada n, o conjunto de todas as matrizes unitárias n por n com multiplicação de matrizes formam um grupo.

Propriedades das matrizes unitárias[editar | editar código-fonte]

  • U é invertível
  • U^{-1}=U^*
  • |det(U)| = 1
  • U^* é unitária
  • Matrizes unitárias preservam o comprimento \|Ux\|_2=\|x\|_2
  • Matrizes unitárias tem valores próprios complexos de módulo 1.[1]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, 2nd Ed., pg. 39.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]