Matrizes de Pauli

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As matrizes de Pauli devem o seu nome a Wolfgang Ernst Pauli e são uma representação do grupo especial unitário SU(2). Têm a seguinte forma:

 \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}

 \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix}

 \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}


Cumprem as regras de comutação do grupo SU(2):

\left [\sigma_i,\sigma_j \right ]=2i\varepsilon_{ijk} \sigma_k


onde \varepsilon_{ijk} é o Símbolo de Levi-Civita.


Outras propriedades importantes são:


\sigma_x^2 = \sigma_y^2 = \sigma_z^2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix} = I

\operatorname{det} (\sigma_i) = -1

\operatorname{Tr} (\sigma_i) = 0


As matrizes de Pauli têm grande utilidade na mecânica quântica. A aplicação mais conhecida é a representação do operador de spin para uma partícula de spin 1/2. Assim, tem-se

 \hat s_i\ = \frac{\hbar}{2}\sigma_i


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