Matrizes semelhantes

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Em matemática, diz-se que duas matrizes quadradas A e B são semelhantes (ou similares) se existir uma matriz invertível M tal que:[1] [2] [3]

A=M^{-1}BM\,

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma matriz A é dita ser semelhante à matriz B se, e somente se, existe uma matriz M invertível tal que:[1] [2]

A=M^{-1}BM\,.

Observamos que a definição exige que A e B sejam matrizes quadradas de mesma ordem. Pois, caso contrário, a identidade acima não estaria bem definida, ou seja, este conceito de semelhança se aplica apenas a matrizes quadradas.

Relação de equivalência[editar | editar código-fonte]

O conceito de matriz semelhante define uma relação de equivalência, i.e.:[1]

  1. (Reflexividade) Toda matriz A é semelhante a si mesma;
  2. (Simetria)A é semelhante a B implica B semelhante a A;
  3. (Transitividade) A é semelhante a B e B é semelhante a C implica A semelhante a C;
Demonstração

1. Como A = I^{-1}AI, temos que A é semelhante a A.

2. Se A = M^{-1}BM, então B = N^{-1}AN com N = M^{-1}. Ou seja, A é semelhante a B implica B semelhante a A.

3. Se A = M^{-1}BM e B = N^{-1}CN, então A = P^{-1}CP com P = NM. Isto é, A é semelhante a B e B é semelhante a C implica A semelhante a C.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

Sejam A e B matrizes semelhantes, então:[1] [2] [4]

  1. \det(A) = \det(B);
  2. A é invertível se e somente se B também o for;
  3. A e B possuem o mesmo polinômio característico;
  4. A e B tem os mesmos valores próprios com a mesma multiplicidade;
  5. A e B têm o mesmo traço;
  6. A^k e B^k são semelhantes para todo k\in\mathbb{N}.

Demonstração das propriedades[editar | editar código-fonte]

Propriedade 1.

Mostraremos que se A e B são matrizes semelhantes, então \det(A) = \det(B). Com efeito, temos que existe uma matriz invertível M tal que A = M^{-1}BM. Pelas propriedades do determinante segue que:

 \begin{align} \det(A) &= \det(M^{-1}BM ) \\
          & = \det(M^{-1}) \det(B) det(M) \\
          &=  \frac{1}{\det(M)}\det(B)\det(M) \\
          &=  \det(B) \end{align}
Propriedade 2.

Mostraremos que se A e B são matrizes semelhantes, então A é invertível se, e somente se, B também for. Com efeito, temos que existe uma matriz invertível M tal que A = M^{-1}BM, ou equivalentemente, B = MAM^{-1}. Suponhamos que A seja invertível. Então, afirmamos que (MAM^{-1})^{-1} = MA^{-1}M^{-1} é matriz inversa de B. De fato:

B(MA^{-1}M^{-1}) = MA(M^{-1}M)A^{-1}M^{-1} = M(AA^{-1})M^{-1} = MM^{-1} = I

e

(MA^{-1}M^{-1})B = MA^{-1}(M^{-1}M)AM^{-1} = M(A^{-1}A)M^{-1} = MM^{-1} = I.

Isto mostra que se A é invertível, então B é invertível. A recíproca segue raciocínio análogo.

Propriedade 3.

Mostraremos que se A e B são matrizes semelhantes, então A e B possuem o mesmo polinômio característico. Com efeito, existe uma matriz invertível M tal que A = M^{-1}BM. Por definição, o polinômio característico de B é dado por p_B(\lambda) = \det(B - \lambda I). Daí, segue que:

\begin{align} p_B(\lambda) &= \det(M^{-1})\det(B - \lambda I)\det(M)\\
&= \det[M^{-1}(B - \lambda I)M] \\
&= \det(M^{-1}BM - \lambda M^{-1}M) \\
&= \det(A - \lambda I) \\
&= p_A(\lambda) 
\end{align}

Isso conclui a demonstração.

Propriedade 4.

Segue imediatamente da propriedade 3.

Propriedade 5.

Segue da propriedade 3, pois o traço de uma matriz n\times n é o coeficiente do termo de grau n-1 do seu polinômio característico.

Propriedade 6.

Mostraremos que se A e B são matrizes semelhantes, então A^k e B^k também são para todo número k natural. Com efeito, existe uma matriz invertível M tal que A = M^{-1}BM. Por indução em k vemos que (M^{-1}BM)^k = M^{-1}B^kM. Ou seja, A^{k} = M^{-1}B^kM, como queríamos demonstrar.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências bibliográficas

  1. a b c d Kolman, B.. Álgebra linear com aplicações. 9. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622086.
  2. a b c Strang, Gilbert. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: Cengage, 2010. ISBN 9788522107445.
  3. Lay, David. Álgebra linear e suas aplicações. 4. ed. [S.l.]: LTC, 2013. ISBN 9788521622093.
  4. TELES, Joana; NUNES VICENTE, Luís Nunes Apontamentos de Complementos de Álgebra Linear e Geometria Analítica, 2005 - acesso a 30 de Setembro de 2007