Mecânica de Lagrange

A mecânica de Lagrange ou mecânica lagrangiana, nomeada em honra ao seu conceptor, Joseph-Louis de Lagrange, é uma formulação da mecânica clássica que combina a conservação do momento linear com a conservação da energia. Exposta pela primeira vez no livro Méchanique Analytique em 1788, a formulação é provida de uma potente ferramental matemática e equivalente a qualquer outra formulação da mecânica, como, por exemplo, o formalismo newtoniano.

Na mecânica lagrangiana, a trajetória de um sistema de partículas é obtido resolvendo as equações de Lagrange em uma de suas duas formas, chamadas equações de Lagrange de primeira espécie, que trata as restrições explicitamente como equações adicionais, geralmente utilizando os multiplicadores de Lagrange;e as equações de Lagrange de segunda espécie, que incorpora as restrições diratamente na escolha das coordenadas generalizadas. O lema fundamental do cálculo de variações mostra que resolver as equações de Lagrange é equivalente a encontrar o caminho que minimiza o funcional ação, uma quantidade que é a integral da função de Lagrange $L\,\!$ no tempo.

Dado um conjunto de coordenadas generalizadas $q=\{q_i\}\,\!$ para descrever o sistema físico estudado, a Lagrangiana de qualquer sistema o caracteriza de forma unívoca e pode apresentar as seguintes dependências funcionais $L=L(q_i , \dot{q_i}, t)\,\!$, em que $\dot{q_i} \equiv \frac{dq_i}{dt},\,\!$ são as velocidades generalizadas.

Pelo Princípio de Hamilton , que nos diz que o trajeto real da partícula , entre os instantes $t_i\,\!$ e $t_f\,\!$ é aquele que minimiza a ação $S \equiv \int_{t_i}^{t_f} L(q_i , \dot{q_i}, t)\,\!$ . Fixados os extremos da trajetória no espaço de configuração. Encontramos às equações de Euler-Lagrange

$\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = 0.\,\!$

Que são equações diferenciais parciais de segunda ordem em $t\,\!$.

No caso de um sistema não-conservativo (ou dissipativo), temos

$\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = -Q_i^{ext}\,\!$

em que $Q_i^{ext}=\sum_j^N \vec{F}_j^{ext} \cdot \frac{ \partial \vec{r}_j}{ \partial q_i}$ são as forças generalizadas, externas.

A Mecânica Lagrangeana é baseada num formalismo escalar mais simples e geral, quando comparado ao formalismo vetorial de Newton. Com isso é capaz de descrever igualmente bem fenômenos a baixas velocidades ou a velocidades relativísticas. O único aspecto que difere entre cada caso é a Função de Lagrange.

Uma escolha para as coordenadas generalizadas

Em um sistema clássico, por exemplo, temos que $q_i=r\,\!$ (aqui estamos assumindo que as coordenadas generalizadas são os módulos dos vetores posição de cada partícula que compõem o sistema) e a Função de Lagrange define-se como

$L(r, \dot{r} , t) = T(r,\dot{r},t) - U(r)\,\!$

Em que $T=\frac{1}{2}m\dot{r}^2\,\!$ é a Energia Cinética e $U\,\!$ é a Energia Potencial de Interação.

Quanto às equações de Euler-Lagrange, temos

$\frac{ \partial L}{\partial q_i} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) = \frac{ \partial L}{\partial r} - \frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{\partial \dot{r}} \right)=0.\,\!$

Aplicação ``clássica´´

A Mecânica de Lagrange tem a vantagem de resolver elegantemente problemas complexos, sendo um bom exemplo do grau de abstração embutido no formalismo de Lagrange a simplicidade com que podemos deduzir as Leis de Conservação a partir das simetrias do espaço-tempo. Deixa-se, aqui, a título de exemplo, a dedução da Conservação do Momento Linear:

• Conservação do Momento Linear

Sendo o espaço homogêneo, tem-se que $\frac{\partial L}{\partial r} = 0\,\!$. Num sistema isolado (conservativo), pelas equações de Euler-Lagrange, temos $\frac{d}{dt} \left( \frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}} \right) =0 \,\!$. Definindo $p= \frac{ \partial L}{ \partial \dot{r}}\,\!$ , chegamos a $\frac{dp}{dt}=0.\,\!$

Bibliografia

• MAIA, NUNO M: Introdução à Mecânica Analítica, IST Press
• GOLDSTEIN: Classical Mechanics, Addison-Wesley
• LEMOS, NIVALDO A.: Mecânica Analítica, Livraria da Física, 2ª ed.