Mecânica celeste

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A mecânica celeste é o ramo da astronomia que estuda os movimentos dos corpos celestes (naturais ou não). A principal força determinante dos movimentos celestes é a gravitação, contudo certos corpos (satélites artificiais, cometas e asteróides) podem sofrer a influência marcante de forças não gravitacionais como a pressão de radiação e o atrito (com a atmosfera superior no caso dos satélites artificiais terrestres). A astronáutica está intimamente ligada a esta ciência.

Objetivo[editar | editar código-fonte]

O objetivo da Mecânica Celeste, como o da Astrometria, é o de determinar as posições relativas dos astros e suas variações com o tempo, mas diferentemente da Astrometria, a Mecânica Celeste faz esse estudo baseada principalmente nos dados da Astrometria e na parte teórica fornecida pela Mecânica Clássica.

A Mecânica Celeste é, pois, a parte da Astronomia que visa estudar o movimento relativo dos astros que estão submetidos às forças admitidas como resultantes da atração gravitacional entre esses corpos celestes. Assim, podemos dizer que a Mecânica Celeste estuda os movimentos relativos dos astros, aplicando as leis da Mecânica Newtoniana.

Funcionalidades[editar | editar código-fonte]

Usando a mecânica celeste é possível determinar as distâncias e as posições dos astros do Sistema Solar, calcular órbitas de satélites artificiais em torno da Terra, determinar as trajetórias de sondas espaciais enviadas a outros astros do Sistema Solar e determinar as massas de corpos celestes, tais como planetas, satélites e estrelas.

Exemplos de problemas[editar | editar código-fonte]

Alguns problemas estudados pela mecânica celeste são:

  • O problema de um corpo de massa infinitesimal sujeito à atração gravitacional de outro corpo. Este problema tem uma solução fechada, mesmo no caso de três dimensões, porém para resolver a posição do corpo no tempo é preciso resolver uma equação transcendente: a equação de Kepler.
  • O problema dos dois corpos: calcular as órbitas de dois corpos (podem ser considerados pontos de massa, ou corpos de raio pequeno com simetria esférica) sujeitos à ação gravitacional. Este problema se reduz ao caso de um corpo.
  • O problema dos três corpos: calcular as órbitas de três corpos sujeitos às ações gravitacionais. Este problema, exceto em casos muito especiais, não tem uma solução analítica.
  • Campos gravitacionais sem simetria esférica: calcular a órbita de um corpo de massa infinitesimal em um campo gravitacional assimétrico (por exemplo, um satélite orbitando um corpo achatado).

A mecânica celeste mostrou sua eficiência na descoberta do planeta Netuno em 1846 por U. J. de Verrier. Baseados nas perturbações da órbita do planeta Urano, astrônomos puderam calcular a presença de um outro corpo celeste influenciando seu movimento. E lá estava Netuno. Com Plutão não foi diferente. P. Lowel no início do século XX pôde prever a existência do planeta estudando a órbita de Netuno. Em 1930, Plutão foi finalmente descoberto por Clyde Tombaugh.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria que constava no fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

O modelo da mecânica celeste de Tycho Brahe é muito curioso, pois ele coloca os planetas orbitando o Sol e este orbitando a Terra, o que o torna ao mesmo tempo geocêntrico e heliocêntrico.

Lei da gravitação universal[editar | editar código-fonte]

Um destaque na história da física foi a descoberta, por Isaac Newton, da lei da gravitação universal: todos os objetos se atraem com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros. Ao definir uma única lei matemática lei mais importante para os fenômenos físicos no universo observável, Newton mostrou que a física terrestre e física celeste são a mesma coisa. O conceito de gravidade poderia, em uma única fórmula:

  1. Revelar o significado físico de três leis de Kepler do movimento planetário.
  2. Resolver o intrincado problema da origem das marés
  3. Explicar a observação curiosa e inexplicável de Galileu de que o movimento de um objeto em queda é independente de seu peso.

A força centrípeta das órbitas circulares pode ser deduzida a partir da terceira lei de Kepler do movimento planetário e a dinâmica do movimento circular uniforme:

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período P é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse. No caso de órbita circular, o semi-eixo é o próprio raio r e, assim:

 P{^2} = kr{^3}

A dinâmica do movimento circular uniforme, nos diz que em uma trajetória circular, a força a ser aplicada ao corpo é o produto de sua massa pela aceleração padrão:

 F = mv{{^2}}/r

O tempo (período P) que leva um planeta para completar uma volta é a razão entre o comprimento da circunferência e velocidade:

 P = 2\pir / v

Encontros espaciais[editar | editar código-fonte]

O objetivo deste programa é enviar uma nave da Terra a Marte e voltar para a Terra seguindo um caminho chamado de semi-elíptica órbita de transferência de Hohmann. Supõe-se que as órbitas da Terra e Marte são circulares e que as únicas forças na nave espacial são devido à ação do sol, ignorando as influências mútuas entre estes planetas e do navio.

Primeiro, devemos fazer a viagem da Terra a Marte. Observar a magnitude das velocidades angulares dos dois planetas. Qual deve ser a distância angular entre a Terra e Marte no momento do lançamento da nave espacial chega a Marte?. Em que planeta tem que ir em frente?.

Uma vez que alcança Marte, fazemos as mesmas perguntas para a viagem de volta para a Terra.

Movimento dos planetas[editar | editar código-fonte]

Movimento dos planetas.

Nós assumimos que os planetas Marte e Terra têm órbita circular em torno do Sol. Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme,

Equação da dinâmica do movimento circular uniforme.

Onde: m = 1.98 kg
1030 é a massa solar
G = 6,67.10-¹¹ Nm²/kg²
r é o raio da trajetória circular descrita pelo planeta.

Para a Terra:

r t = 1,49.10¹¹ m, de modo que vt = 29.772,6 m/s

Para Marte:

rm = 2,28.10¹¹ m, então vm = 24.067,3 m/s

Órbita de transferência de Hohmann[editar | editar código-fonte]

Encontro do sol e da terra.

Assumimos influência insignificante dos planetas no movimento da nave espacial em sua viagem da Terra a Marte. A nave irá descrever uma órbita elíptica com um dos focos no Sol. O periélio é o raio da Terra 1011 · r1 = 1,49 m e o raio de Marte afélio r2 = 2,28 · 1011 m.

Conhecida rt r1 = r2 = rm, pode-se determinar a velocidade da espaçonave no periélio e afélio v2 v1, aplicando as propriedades da força atrativa.

A força de atração entre a nave e o Sol é central, o momento angular permanece constante.

mr1 · v1 · sen90 º = m · · r2 V2 · sen90 º

A força de atração é conservadora, a energia total permanece constante

Equação da força de atração.

Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas, subtituindo v1 e v2:

Datos: r1=1.49·1011 m, e r2=2.28·1011 m,

Resultado: v1=32742.7 m/s e v2=21397.6 m/s

A órbita elíptica que descreve a nave espacial tem:

  • semieixo maior a=(r1+r2)=1.885·1011 m;
  • excentricidade ε=(r2-r1)/(r2+r1)=0.21.

Movimento do corpo é uma certa altura acima da nave espacial[editar | editar código-fonte]

Considere primeiro o caso mais simples, o movimento de um corpo está em uma distância h da espaçonave medido ao longo da direção radial e no momento inicial, tem a mesma velocidade. Ele libera o corpo e descobriram que se movem em órbitas diferentes.

Movimento relativo

Vamos considerar dois casos que h é positivo, a altura do corpo é maior do que a nave espacial, e h é negativo, a altura do corpo é menor que o da nave espacial.

A constância do momento angular e energia do corpo nos permitem calcular a distância máxima ou mínima e r2 velocidade v2 conhecida a distância mínima ou máxima r1 = r0 + h de velocidade v1 = v0.

O sistema Terra-Lua fixo no espaço[editar | editar código-fonte]

Dados do sistema Terra-Lua:

Massa da Terra, MT = 5,98 · 1024 kg

Raio da Terra, RT = 6370 km = 6,37 · 106 m

Massa da Lua, ML = 7,34 1022 kg

Rádio Luna, RL = 1740 km = 1,74 · 106 m

Distância entre a Terra ea Lua, d = 384000 km = 384,0 · 106 m

Fontes[editar | editar código-fonte]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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