Mecânica celeste

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A mecânica celeste é o ramo da astronomia que estuda os movimentos dos corpos celestes (naturais ou não). A principal força determinante dos movimentos celestes é a gravitação, contudo certos corpos (satélites artificiais, cometas e asteróides) podem sofrer a influência marcante de forças não gravitacionais como a pressão de radiação e o atrito (com a atmosfera superior no caso dos satélites artificiais terrestres). A astronáutica está intimamente ligada a esta ciência.[1] [2] [3] [4] [5] [6]

Objetivo[editar | editar código-fonte]

O objetivo da Mecânica Celeste, como o da Astrometria, é o de determinar as posições relativas dos astros e suas variações com o tempo, mas diferentemente da Astrometria, a Mecânica Celeste faz esse estudo baseada principalmente nos dados da Astrometria e na parte teórica fornecida pela Mecânica Clássica.[3]

A Mecânica Celeste é, pois, a parte da Astronomia que visa estudar o movimento relativo dos astros que estão submetidos às forças admitidas como resultantes da atração gravitacional entre esses corpos celestes. Assim, podemos dizer que a Mecânica Celeste estuda os movimentos relativos dos astros, aplicando as leis da Mecânica Newtoniana.[6]

Funcionalidades[editar | editar código-fonte]

Usando a mecânica celeste é possível determinar as distâncias e as posições dos astros do Sistema Solar, calcular órbitas de satélites artificiais em torno da Terra, determinar as trajetórias de sondas espaciais enviadas a outros astros do Sistema Solar e determinar as massas de corpos celestes, tais como planetas, satélites e estrelas.[3] [6]

Exemplos de problemas[editar | editar código-fonte]

Alguns problemas estudados pela mecânica celeste são:[7] [3] [6]

  • O problema de um corpo de massa infinitesimal sujeito à atração gravitacional de outro corpo. Este problema tem uma solução fechada, mesmo no caso de três dimensões, porém para resolver a posição do corpo no tempo é preciso resolver uma equação transcendente: a equação de Kepler.[8]
  • O problema dos dois corpos: calcular as órbitas de dois corpos (podem ser considerados pontos de massa, ou corpos de raio pequeno com simetria esférica) sujeitos à ação gravitacional. Este problema se reduz ao caso de um corpo.
  • O problema dos três corpos: calcular as órbitas de três corpos sujeitos às ações gravitacionais. Este problema, exceto em casos muito especiais, não tem uma solução analítica.
  • Campos gravitacionais sem simetria esférica: calcular a órbita de um corpo de massa infinitesimal em um campo gravitacional assimétrico (por exemplo, um satélite orbitando um corpo achatado).

A mecânica celeste mostrou sua eficiência na descoberta do planeta Netuno em 1846 por U. J. de Verrier. Baseados nas perturbações da órbita do planeta Urano, astrônomos puderam calcular a presença de um outro corpo celeste influenciando seu movimento. E lá estava Netuno. Com Plutão não foi diferente. P. Lowel no início do século XX pôde prever a existência do planeta estudando a órbita de Netuno. Em 1930, Plutão foi finalmente descoberto por Clyde Tombaugh.

O modelo de Kepler é heliocêntrico. Seu modelo foi muito criticado pela falta de simetria que constava no fato do Sol ocupar um dos focos da elipse e o outro simplesmente ser preenchido com o vácuo.

O modelo da mecânica celeste de Tycho Brahe é muito curioso, pois ele coloca os planetas orbitando o Sol e este orbitando a Terra, o que o torna ao mesmo tempo geocêntrico e heliocêntrico.

Lei da gravitação universal[editar | editar código-fonte]

Um destaque na história da física foi a descoberta, por Isaac Newton, da lei da gravitação universal: todos os objetos se atraem com uma força diretamente proporcional ao produto de suas massas e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre seus centros. Ao definir uma única lei matemática lei mais importante para os fenômenos físicos no universo observável, Newton mostrou que a física terrestre e física celeste são a mesma coisa. O conceito de gravidade poderia, em uma única fórmula:[3] [6] [8]

  1. Revelar o significado físico de três leis de Kepler do movimento planetário.
  2. Resolver o intrincado problema da origem das marés
  3. Explicar a observação curiosa e inexplicável de Galileu de que o movimento de um objeto em queda é independente de seu peso.

A força centrípeta das órbitas circulares pode ser deduzida a partir da terceira lei de Kepler do movimento planetário e a dinâmica do movimento circular uniforme:

De acordo com a terceira lei de Kepler, o período P é proporcional ao cubo do semi-eixo maior da elipse. No caso de órbita circular, o semi-eixo é o próprio raio r e, assim:

 P{^2} = kr{^3}

A dinâmica do movimento circular uniforme, nos diz que em uma trajetória circular, a força a ser aplicada ao corpo é o produto de sua massa pela aceleração padrão:

 F = \frac{mv{{^2}}}{r}

O tempo (período P) que leva um planeta para completar uma volta é a razão entre o comprimento da circunferência e velocidade:

 P = \frac{2~\pi ~r}{v}

Encontros espaciais[editar | editar código-fonte]

O objetivo deste programa é enviar uma nave da Terra a Marte e voltar para a Terra seguindo um caminho chamado de semi-elíptica órbita de transferência de Hohmann. Supõe-se que as órbitas da Terra e Marte são circulares e que as únicas forças na nave espacial são devido à ação do sol, ignorando as influências mútuas entre estes planetas e do navio.[3] [6]

Primeiro, devemos fazer a viagem da Terra a Marte. Observar a magnitude das velocidades angulares dos dois planetas. Qual deve ser a distância angular entre a Terra e Marte no momento do lançamento da nave espacial chega a Marte ? Em que planeta tem que ir em frente ?

Uma vez que alcança Marte, fazemos as mesmas perguntas para a viagem de volta para a Terra.

Movimento dos planetas[editar | editar código-fonte]

Movimento dos planetas.

Nós assumimos que os planetas Marte e Terra têm órbita circular em torno do Sol. Aplicando a equação da dinâmica do movimento circular uniforme,[3] [6]

Equação da dinâmica do movimento circular uniforme.

Onde:

m = 1.98 kg
1030 é a massa solar
G = 6,67.10^{-11}~\frac{Nm^2}{kg^2}
r é o raio da trajetória circular descrita pelo planeta.

Para a Terra:

r_{Terra} = 1,49 \cdot~10^{11}~m, de modo que v_{Terra} = 29.772,6~\frac{m}{s}

Para Marte:

r_{Marte} = 2,28 \cdot 10^{11}~m, então v_{Marte} = 24.067,3~\frac{m}{s}

Órbita de transferência de Hohmann[editar | editar código-fonte]

Encontro do sol e da terra.

Assumimos influência insignificante dos planetas no movimento da nave espacial em sua viagem da Terra a Marte. A nave irá descrever uma órbita elíptica com um dos focos no Sol.[3] [6] O periélio é o raio da Terra r_1 = 1,49 \cdot~10^{11}~m e o raio de Marte afélio r_2 = 2,28 \cdot 10^{11}~m.

Conhecida r_{Terra} = r_1 = r_2 = r_{Marte}, pode-se determinar a velocidade da espaçonave no periélio e afélio v_2 é a velocidade de Marte e v_1 é a velocidade da Terra, aplicando as propriedades da força atrativa.

A força de atração entre a nave e o Sol é central, onde m é o momento angular que permanece constante.

m~\cdot~r_1~\cdot~v_1~\cdot~sen~90 \text{º} = m~\cdot~r_2~\cdot~v_2~\cdot~sen~90 \text{º}

A força de atração é conservadora, a energia total permanece constante

Equação da força de atração.

Resolvemos o sistema de duas equações com duas incógnitas, subtituindo v_1 e v_2:

Datos: r_1 = 1,49 \cdot 10^{11}~m, e r_2 = 2,28 \cdot 10^{11}~m,

Resultado: v_1 = 32742,7~\frac{m}{s} e v_2 = 21397,6~\frac{m}{s}

A órbita elíptica que descreve a nave espacial tem:

Movimento do corpo é uma certa altura acima da nave espacial[editar | editar código-fonte]

Considere primeiro o caso mais simples, o movimento de um corpo está em uma distância h da espaçonave medido ao longo da direção radial e no momento inicial, tem a mesma velocidade. Ele libera o corpo e descobriram que se movem em órbitas diferentes.[3] [6]

Movimento relativo

Vamos considerar dois casos que h é positivo, a altura do corpo é maior do que a nave espacial, e h é negativo, se a altura do corpo é menor que a da nave espacial.

A constância do momento angular e energia do corpo nos permitem calcular a distância máxima ou mínima e r_2 velocidade v_2 conhecida a distância mínima ou máxima r_1 = r_0 + h de velocidade v_1 = v_0.

O sistema Terra-Lua fixo no espaço[editar | editar código-fonte]

Dados do sistema Terra-Lua:[3] [6]

Massa da Terra, M_{Terra} = 5,98 \cdot~10^{24}~kg

Raio da Terra, R_{Terra} = 6370 \cdot~km = 6,37 \cdot~10^6~m

Massa da Lua, M_{Lua} = 7,34 \cdot~10^{22}~kg

Raio da Lua, R_{Lua} = 1740 \cdot~km = 1,74 \cdot~10^6~m

Distância entre a Terra e a Lua, d = 384000 \cdot~km = 384,0 \cdot~10^6~m

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Mecânica Celeste
  2. MECÂNICA CELESTE
  3. a b c d e f g h i j Vladimir A. Chobotov, Orbital Mechanics , AIAA, 2002 ISBN 1-600-86097-4
  4. Asger Aaboe, Episodes from the Early History of Astronomy, 2001, Springer-Verlag, ISBN 0-387-95136-9
  5. Forest R. Moulton, Introduction to Celestial Mechanics, 1984, Dover, ISBN 0-486-64687-4
  6. a b c d e f g h i j Howard Curtis, Orbital Mechanics for Engineering Students , Butterworth-Heinemann, 2013 ISBN 0-080-97748-0
  7. Uma Introdução à Mecânica Celeste
  8. a b Mecânica Celeste (em inglês)

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  1. LUIZ G. SPOLADORE, MECANICA CELESTE , ARGONIO ISBN 8-560-59902-9
  2. John E. Prussing, Bruce A. Conway, Orbital Mechanics , Oxford University Press, 1993 ISBN 0-195-07834-9
  3. Almeida, Ana Cristina, 1963-, ed. lit., Portugal. Biblioteca Nacional, ed. lit., Santos, Manuela, 1955-, ed. lit., CDU: Classificação Decimal Universal: tabela de autoridade , Biblioteca Nacional Portugal, 2005 ISBN 9-725-65395-5
  4. Paulo Marques dos Santos, Instituto Astronômico e Geofísico da USP: memória sobre sua formação e evolução , EdUSP, 2005 ISBN 8-531-40878-4
  5. Jan Vrbik, New Methods of Celestial Mechanics , Bentham Science Publishers, 2010 ISBN 1-608-05187-0
  6. J. M. A. Danby, Fundamentals of Celestial Mechanics, 1992, Willmann-Bell ISBN 0-943-39620-4
  7. Alessandra Celletti, Ettore Perozzi, Celestial Mechanics: The Waltz of the Planets, 2007, Springer-Praxis, ISBN 0-387-30777-X

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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