Medida de Haar

Em análise matemática, a medida de Haar é uma forma de atribuir um volume invariante para subconjuntos de grupos localmente compactos e em seguida definir uma integral para funções nestes grupos.

Esta medida foi criada pelo matemático húngaro Alfréd Haar em 1932. A medida de Haar é utilizada em diversas partes da análise matemática, teoria dos números e teoria da estimativa.

Definição

Suponha que G seja um grupo topológico localmente compacto. Para esta definição, a σ-álgebra gerada por todos subconjuntos compactos de G será chamada de álgebra de Borel.

Se a é um elemento de G e S é um subconjunto de G, então nós definimos as translações para esquerda e para direita de S da seguinte forma:

• Translação a esquerda

$a S = \{a \cdot s: s \in S\}$;

• Translação a direita

$S a = \{s \cdot a: s \in S\}$.

Uma medida μ nos subconjuntos de Borel de G é chamado de translação-esquerda-invariante se e somente se para todos subconjuntos de Borel S de G e todos a em G existe

$\mu(a S) = \mu(S) \quad$

Uma definição similar é feita para a translação à direita invariante.

Existência e unicidade da medida de Haar esquerda

Acontece que existe, salvo um multiplicador constante positivo, apenas uma translação esquerda invariante adição sigma da medida regular μ no subconjunto de Borel G tal que $\mu(U) > 0$ para qualquer conjunto de Borel aberto e não vazio U. De forma que uma medida seja chamada de medida de Haar esquerda. Segundo Paul Halmos μ será regular se e somente se

1. $\mu(K)$ é finito para todo conjunto compacto K;
2. Todo conjunto de Borel E é exteriormente regular;
3.  :$\mu(E) = \inf \{\mu(U): E \subseteq U, U \mbox{ aberto}\}.$
4. Todo conjunto de Borel R é internamente regular.
5.  :$\mu(E) = \sup \{\mu(K): K \subseteq E, K \mbox{ compacto}\}.$

A existência da medida de Haar foi pela primeira vez comprada por André Weil. O caso especial para medidas invariantes em grupos compactos fora demonstrada em 1933 por Haar.

A integral de Haar

Utilizando a teoria geral da integral de Lebesgue, pode-se definir uma integral para toda função de medida de Borel f em G. Esta integral é chamada de Integral de Haar.

Definição

Se μ é a medida esquerda de Haar, então

$\int_G f(s x) \ d\mu(x) = \int_G f(x) \ d\mu(x)$

para qualquer função integrável f. Isto é obtido imediatamente pelas funções escalonadas, sendo essencialmente a definição da variante esquerda.

Leitura recomendada

• Lynn Loomis. An Introduction to Abstract Harmonic Analysis (em inglês). [S.l.]: D. van Nostrand and Co., 1953.
• André Weil. Basic Number Theory (em inglês). [S.l.]: Academic Press, 1971.

Ver também

• Dualidade de Pontryagin

Ligações externas

• Grupos Topológicos e aplicações à Medida de Haar (em português)
• On the Existence and Uniqueness of Invariant Measures on Locally Compact Groups (em inglês) - por Simon Rubinstein-Salzedo