Medida espectral

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Na matemática, particularmente em análise funcional a Medida espectral é uma função definida em certos subconjuntos de um conjunto fixo no qual todos os valores possíveis são operadores autoadjuntos no espaço de Hilbert.

Definição[editar | editar código-fonte]

Uma medida espectral num espaço mensurável (X, M), onde M é uma σ-álgebra de subconjuntos de X, é um mapeamento π de M para o conjunto de projeções autoadjuntas num espaço de Hilbert H de forma que

\pi(X) = \operatorname{id}_H \quad

e para todo ξ, η ∈ H, o conjunto função

A \mapsto \langle \pi(A)\xi \mid \eta \rangle

é uma medida complexa em M (que é, uma função de adição sigma de um valor complexo). Nós denotamos tal medida por \operatorname{S}_\pi(\xi, \eta).

Se π é uma medição espectral e

A \cap B = \emptyset,

Então π(A), π(B) são projeções ortogonais. A partir disto obtemos,

 \pi(A) \pi(B) = \pi(A \cap B).

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Suponha que (X, M, μ) seja uma medida espacial. Deixemos π(A) ser um operador de multiplicação pela função indicadora 1_A no L^2(X). Então π é uma medição espectral.

Extensões da medição espectral[editar | editar código-fonte]

Se π é uma aditivo na medida espectral em (X, M), então o mapeamento

 \mathbf{1}_A \mapsto \pi(A)

estende de um mapeamento linear num espaço vectorial de funções escalonadas em X. De facto, é facilmente verificável que este mapeamento é um homomorfismo de anéis. E este mapeamento estende de uma forma canônica para todos valores complexos em X.

Teorema[editar | editar código-fonte]

Para qualquer M funções limitadas medíveis f em X, existe um único operador linear limitado T_\pi(f) tal que

 \langle \operatorname{T}_\pi(f) \xi \mid  \eta \rangle = \int_X f(x) d \operatorname{S}_\pi (\xi,\eta)(x)

para qualquer ξ, η ∈ H. O mapeamento

f \mapsto \operatorname{T}_\pi(f)

é um homomorfismo de anéis.

Estrutura da medição espectral[editar | editar código-fonte]

Primeiro nós daremos um exemplo geral da medida espectral baseada na integral direta.

Suponha que (X, M, μ) seja uma medida espacial e deixemos que {Hx}xX sejam uma família de espaços de Hilbert separáveis. Para todo AM, tomemos π(A) como um operador de multiplicação por 1_A no espaço de Hilbert.

 \int_X^\oplus H_x \ d \mu(x).

Então π é uma medição espectral em (X, M).

Suponha que π, ρ são medições espectrais em (X, M) com valores as projeções de H, K. π, ρ são unitariamente equivalentes se e somente se existe um operador unitário U:H \rightarrow K tal que

 \pi(A) = U^* \rho(A) U \quad

para todo AM.

Generalizações[editar | editar código-fonte]

A ideia por trás da medição espectral é generalizada pela medição espectral positiva, onde a necessidade da ortogonalidade implícita pelos operadores de projeção é trocada pela ideia de um conjunto de operadores que é uma partição da unidade não ortogonal. Esta generalização foi motivada pelas aplicações da teoria de informação quântica.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Leitura recomendada[editar | editar código-fonte]

  • Mackey, G. W. The Theory of Unitary Group Representations. [S.l.]: The University of Chicago Press, 1976.
  • Varadarajan, V. S. Geometry of Quantum Theory V2. [S.l.]: Springer Verlag, 1970.