Medida exterior

Em matemática, uma medida exterior é uma função que associa a cada subconjunto de um dado conjunto um número real estendido não-negativo.

Uma teoria geral de medidas exteriores foi primeiramente introduzida¹ pelo matemático grego Constantin Carathéodory² com o objetivo de prover uma base para a teoria dos conjuntos mensuráveis e sigma-aditividade. O trabalho de Carathéodory em medidas exteriores encontra diversas aplicações na teoria da medida. O conceito de dimensão de Hausdorff foi construído com base em uma medida exterior, a medida de Hausdorff.

Índice

Seja X um conjunto e $2^X\,$ , a família de todos os seus subconjuntos. Um função $\varphi\,$

$\varphi:2^X \to [0,\infty]\,$

é dita uma medida exterior se satisfizer as seguintes propriedades:

$\varphi(\varnothing) = 0$

$A \subseteq B \Rightarrow \varphi(A) \leq \varphi(B)$

Sub-aditividade contável : para cada família contável {A_j} de subconjuntos of X (não necessarimente disjuntos dois a dois)

$\varphi\left(\bigcup_{j=1}^\infty A_j\right) \leq \sum_{j=1}^\infty \varphi(A_j)$

Define-se um conjunto mensurável no sentido de Carathéodory da seguinte forma:

Um subconjunto E de X é φ-mensurável (ou Carathéodory-mensurável por φ) se e somente se para cada suconjunto A de X, vale a relação:

$\varphi(A) = \varphi(A \cap E) + \varphi(A \setminus E).$

Os conjuntos φ-measuráveis formam uma σ-algebra e φ restrito aos conjuntos mensuráveis é uma medida (matemática) completa e sigma-aditiva.

↑ See pp379, C.D. Aliprantis, K.C. Border, Infinite Dimensional Analysis, 3rd ed, Springer 2006. ISBN 3-540-29586-0
↑ C. Carathéodory, Vorlesungen über reelle Funktionen, 1st ed, Berlin: Leibzig 1918, 2nd ed, New York: Chelsea 1948.