Medida exterior de Lebesgue

Em matemática, a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de $\mathbb{R}^n\,$ um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.

As construções modernas para a medida de Lebesgue partem do conceito desta medida exterior.

Propriedades

• Seja $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_n,b_n],~~a_i\leq b_i\,$, então:

$\mu^*(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\ldots (b_n-a_n)\,$

• Em especial:

$\mu^*(\emptyset)=0\,$

• $\mu^*\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E_j)\,$ (sub-aditividade)
• Em especial:

$A\subseteq B\Longrightarrow \mu^*(A)\leq \mu^*(B)\,$ (monotonicidade)

• Se $A_\lambda\,$ é definido como $A_\lambda=\{x+\lambda:x\in A\}\,$ então:

$\mu^*(A)=\mu^*(A_\lambda)\,$ (invariância por translações)

• Se $T:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}^n\,$ é uma transformação linear e $TA:=\{Tx:x\in A\}\,$ então:

$\mu^*(TA)=|T|\mu^*(A)\,$, onde $|T|\,$ é o determinante da transformação.

Definição

Seja o conjunto elementar $I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_n,b_n],~~a_i\leq b_i\,$. Define-se o volume de $I\,$ como:

$\hbox{vol}(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\ldots (b_n-a_n)\,$

É claro que qualquer subconjunto de $\mathbb{R}^n\,$ está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

$\mathbb{R}^n \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}[-j,j]^n$

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto $E\subseteq \mathbb{R}^n\,$ é definida como:

$\mu^*(E)=\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\hbox{vol}(I_j): \bigcup I_j \supseteq E \right\}$, onde $I_j\,$ são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem $E\,$.

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de $\mathbb{R}^n\,$, $\mu^*:P(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}^{+} \cup \{ \infty \} \,$

Conjuntos de medida zero

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

Ver também

• Medida
• Medida exterior