Medida exterior de Lebesgue

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Em matemática, a medida exterior de Lebesgue é uma função que associa a cada subconjunto de \mathbb{R}^n um número real estendido não negativo que está relacionado com o "volume" ocupado por ele.

As construções modernas para a medida de Lebesgue partem do conceito desta medida exterior.

Propriedades[editar | editar código-fonte]

  • Seja I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_n,b_n],~~a_i\leq b_i, então:
\mu^*(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\ldots (b_n-a_n)
  • Em especial:
\mu^*(\emptyset)=0
  • \mu^*\left(\bigcup_{j=1}^{\infty}E_j\right)\leq \sum_{j=1}^{\infty}\mu^*(E_j) (sub-aditividade)
  • Em especial:
A\subseteq B\Longrightarrow \mu^*(A)\leq \mu^*(B) (monotonicidade)
  • Se A_\lambda é definido como A_\lambda=\{x+\lambda:x\in A\} então:
\mu^*(A)=\mu^*(A_\lambda) (invariância por translações)
\mu^*(TA)=|T|\mu^*(A), onde |T| é o determinante da transformação.

Definição[editar | editar código-fonte]

Seja o conjunto elementar I=[a_1,b_1]\times [a_2,b_2]\times\ldots\times [a_n,b_n],~~a_i\leq b_i. Define-se o volume de I como:

\hbox{vol}(I)=(b_1-a_1)\cdot (b_2-a_2)\ldots (b_n-a_n)

É claro que qualquer subconjunto de \mathbb{R}^n está contido na união enumerável desses conjuntos, pois:

\mathbb{R}^n \subseteq \bigcup_{j=1}^{\infty}[-j,j]^n

Então a medida exterior de Lebesgue de um conjunto E\subseteq \mathbb{R}^n é definida como:

\mu^*(E)=\inf\left\{\sum_{j=1}^{\infty}\hbox{vol}(I_j): \bigcup I_j \supseteq E \right\}, onde I_j são elementares.

O ínfimo é tomado sobre todas as possíveis famílias enumeráveis de conjuntos elementares que cobrem E.

A medida exterior é, portanto, uma função cujo domínio são as partes de \mathbb{R}^n, \mu^*:P(\mathbb{R}^n)\to\mathbb{R}^{+} \cup \{ \infty \}

Conjuntos de medida zero[editar | editar código-fonte]

Um conjunto é dito ter medida de Lebesgue zero se sua medida exterior for nula. Surge da teoria da medida de Lebesgue que todo conjunto de medida exterior nula é mensurável e possui medida nula.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Wikilivros
O Wikilivros tem um livro chamado Medida e integração
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