Modelagem matemática

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A modelagem matemática é a area do conhecimento que estuda a simulação de sistemas reais a fim de prever o comportamento dos mesmos, sendo empregada em diversos campos de estudo, tais como física, química, biologia, economia e engenharias. Ou seja, modelagem matemática consiste na arte (ou tentativa) de se descrever matematicamente um fenômeno.

Dentre as diferentes formas e métodos de modelagem temos a modelagem via autômatos celulares e equações diferenciais, parciais e/ou ordinárias. A modelagem matemática via equações diferenciais tem um papel de enorme destaque, visto que tal técnica vem sendo utilizada para modelar fenômenos desde o século XVII por Malthus e Verhulst,no final dos anos 1700 1 . Pode-se, então, dizer que um modelo matemático é desenvolvido para simular a realidade usando a linguagem matemática. 2 .

Os modelos matemáticos se subsidiam, por exemplo, das leis da física (como as leis de Kirchhoff para sistemas eletricos e as leis de Newton para mecânicos) ou dados experimentais.

Frequentemente, os modelos atingem grau de sofisticação suficiente para justificar ferramentas computacionais, envolvendo sistemas de equações diferenciais. Sofwares como MATLAB e Scilab contam com recursos focados nas soluções de tais modelos.

Metodologia para estudo de um modelo matemático[editar | editar código-fonte]

A modelagem de um fenômeno via equações diferenciais é, normalmente, feita da seguinte forma: através da simples observação conseguem-se informações sobre as taxas de variação do fenômeno (que do ponto de vista matemático são derivadas), escreve-se a equação que relaciona as taxas de variação e a função, isto é, a equação diferencial associada e, a partir da solução desta equação tem-se uma possível descrição do fenômeno.

Então, tal modelo matemático será também composto por parâmetros (constantes), que são intrínsecas ao sistema a ser estudado; variáveis que afetam o sistema, porém o modelo não foi designado para estudar seu comportamento (variáveis independentes) e as variáveis as quais o modelo foi designado para estudar (variáveis dependentes). Quando o sistema em questão busca retratar um fenômeno que consiste na interação entre duas ou mais entidades, então a modelagem é feita através de um sistema de equações diferenciais 2 . O modelo Lotka-Volterra (ou presa-predador), por exemplo, desenvolvido na década de 1920, é dado por:

\,\!\left\{\begin{matrix}x'(t) = ax + bx(t)y(t)\\ y'(t) = -cy + dx(t)y(t)\end{matrix}\right.

Em que \,\!a,b,c e \,\!d são os parâmetros, \,\!x(t) e \,\!y(t) são as variáveis dependentes, respectivamente a população de presas e predadores e \,\!t é a variável independente, o tempo neste caso. Para se estudar um modelo matemático de equações diferenciais, de uma maneira geral, devem ser seguidos alguns passos:

Consiste em fazer \,\!x'(t)=0 e \,\!y'(t)=0, resolver o sistema resultante e obter os valores de \,\!x(t) e \,\!y(t) no equilíbrio, ou seja, quanto as respectivas taxas de variação são zero;

  1. Para autovalores reais, o ponto será estável se todos os autovalores forem menores que zero, instável se todos forem maiores que zero e ponto cela se apresentarem ambas as situações;
  2. Para autovalores complexos, o ponto será uma espiral estável se os autovalores tiverem a parte real negativa, espiral instável se a parte real for positiva e um centro se a parte real for nula.

Dificuldades e aplicações[editar | editar código-fonte]

Os modelos matemáticos apresentam uma série de aspectos úteis do ponto de vista científico. Além de apresentar naturalmente uma linguagem concisa, que pode vir a facilitar sua manipulação, um modelo matemático traz também aspectos como a possibilidade de confirmar ou rejeitar determinadas hipóteses relacionadas a complexos sistemas, revelar contradições em dados obtidos e/ou hipóteses formuladas, prever o comportamento de um sistema sob condições não testadas ou ainda não “testáveis”, dentre outros 2 .

Por outro lado, quanto maior é a proximidade do modelo com a realidade, mais complexo será o modelo. Isto significa um maior numero de parâmetros e conseqüentemente uma maior dificuldade tanto na obtenção de dados a partir do modelo quanto na interpretação desses dados gerados pelo modelo em questão.

Modelos simples são mais fáceis de lidar, porém modelos mais sofisticados são frequentemente necessários. É importante ressaltar que as previsões do comportamento de um determinado modelo matemático, caso se faça necessário dependendo de sua complexidade, se dão através de simulações computacionais do mesmo. Caso o modelo seja suficientemente simples, teorias matemáticas são eficientes ferramentas para se obter conclusões gerais. Então, pode-se dizer que ao desenvolver um modelo matemático busca-se um ponto ótimo entre a representação da realidade e a complexidade do modelo, para que a obtenção de resultados coerentes seja possível, bem como sua interpretação. Segundo Howard Emmons, “o desafio em modelagem matemática não é produzir os modelos descritivos mais compreensíveis, mas sim produzir modelos suficientemente simples que incorporam as principais características do fenômeno em questão”. Portanto, a modelagem matemática ajuda a evitar ou reduzir a necessidade de gastos excessivos em experimentos, ou até mesmo simular experimentos impossíveis de serem realizados na prática.

Exemplo[editar | editar código-fonte]

Vamos estudar, neste exemplo o comportamento do sistema Lotka-Volterra. O sistema Lotka-Volterra apresenta uma tendência de oscilar, como tem sido observado a mais de um século atrás. Isso pode ser notado a partir da análise de um gráfico (Figura 1), semelhante ao obtido quando se observou os registros da Hudson Bay Company, que comercializava pele de animais por volta dos anos 18401 .

Onde está a figura 1?

Figura 1: Gráfico dos dados dos anos 1840, mantidos pela Hudson Bay Company 1 .

Antes de chegar às equações do modelo, é interessante levantar algumas considerações feitas por Volterra de modo a simplificar o sistema1 :

  1. As presas crescem de uma maneira ilimitada quando os predadores não as mantêm sob controle;
  2. Os predadores dependem da presença de suas presas para sobreviverem;
  3. A taxa de predação depende da probabilidade com a qual a vítima é encontrada pelo predador;
  4. A taxa de crescimento da população de predadores é proporcional à comida ingerida por eles (taxa de predação).

Feitas essas considerações, o modelo é dado por:

\,\!\left\{\begin{matrix}x'(t) = ax + bx(t)y(t)\\ y'(t) = -cy + dx(t)y(t)\end{matrix}\right.

Em que:

  • o termo \,\!xy está associado à probabilidade de encontro entre presas e predadores;
  • a razão \,\!d/b é análoga à eficiência de predação, isto é, a eficiência de converter uma unidade de presa em uma unidade de predador.

Visto isso, podemos começar o estudo do comportamento do modelo:

  • Obtenção dos pontos de equilíbrio:


Das equações acima, temos

\,\!\left\{\begin{matrix} ax + bx(t)y(t)=0\\-cy + dx(t)y(t)=0\end{matrix}\right.


Então, os pontos de equilíbrio serão:
\,\!(x_1,y_1)=(c/d,a/b) e \,\!(x_2,y_2)=(0,0)

  • Matriz jacobiana do sistema:



J = \begin{bmatrix} a-by & -bx \\ dy & -c+dx \end{bmatrix}


  • Análise de estabilidade:


Para o ponto \,\!(x_1,y_1)=(c/d,a/b), temos:


J(x_1,y_1) = \begin{bmatrix} 0 & -bc/d \\ da/b & 0 \end{bmatrix}


Os autovalores são:
\,\!r_1=\sqrt{(ac)}i.
e \,\!r_2=-\sqrt{(ac)}i.
Portanto, o ponto \,\!(x_1,y_1) é um centro.

Para o ponto \,\!(x_2,y_2)=(0,0), temos:


J(x_2,y_2) = \begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & -c \end{bmatrix}


Os autovalores são:
\,\!r_{1}=c.
e \,\!r_2=-a.
Portanto, o ponto \,\!(x_2,y_2) é um ponto de sela.

  • Retrato-fase do sistema


Onde está a figura 2?

Figura 2: Retrato-fase do modelo presa-predador.

Ao observar o ponto \,\!(x_1,y_1), nota-se que o equilíbrio das presas é independente da sua própria taxa de crescimento ou mortalidade, visto que \,\!x_1=c/d. Esta observação vale também para o ponto \,\!y_2=a/b, com relação aos predadores.

Referências

  1. a b c d Eldestein-Keshet, L., 1988. Mathematical Models in Biology, Random House, New York.
  2. a b c Adam, J. A. and Bellomo N.,1997. A Survey of Models for Tumor-Immune System Dynamics, Birkhauser Boston.

Ver também[editar | editar código-fonte]