Modelo de Ramsey-Cass-Koopmans

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O modelo de Ramsey-Cass-Koopmans, ou simplesmente modelo de Ramsey (em homenagem a Frank Ramsey), é um modelo econômico com poupança endógena.

Neste modelo, a população, de tamanho N_t, cresce à taxa n, e é igual à força de trabalho (que é fornecida inelásticamente).[1] As famílias vivem para sempre.

O produto (PIB, representado pela letra Y ou pela função F) é ou consumido (C_t) ou investido, ou seja, adicionado ao estoque de capital (representado pela letra K). Em termos formais,

Y_t=F \left ( K_t,N_t \right ) = C_t + \frac{dK_t}{dt}, ou, em termos per capita, f \left ( k_t \right ) = c_t + \frac{dk_t}{dt}+nk_t, onde as letras minúsculas indicam variáveis divididas pelo tamanho da população (N_t).

Hipótese do planejador central[editar | editar código-fonte]

Neste modelo, um planejador central que queira no momento t=0 maximizar o bem estar da população (representado pela função u, de utilidade) deve escolher, a cada momento quanto deve ser consumido e quanto deve ser investido (adicionado ao estoque de capital para ser consumido no futuro). Ou seja, o planejador deve encontrar a solução para o seguinte problema:

\max{\int_{0}^{\infty} u \left ( c_t \right )e^{-\theta t}\, dt}, sujeito às restrições de que o capital inicial k_0 é dado e k_t \ge0,c_t \ge 0,  \forall t

A solução deste problema é encontrada utilizando-se o princípio do máximo. Utilizando-se um Hamiltoniano, as condições necessárias para uma trajetória ótima são duas:

  • \lim { t \to \infty}{\left [ k_t\frac{du(c_t)}{dc_t}e^{-\theta t} \right ]}=0, ou seja, não faz sentido acumular capital indefinidamente. No infinito, o capital vai ser inteiramente transformado em consumo.
  • \frac{c_t\left [\frac{d^2u(c_t)}{dc_t}\right ]}{\frac{du(c_t)}{dc_t}} \cdot \frac{dc_t/dt}{c_t} =\theta + n - \frac{df(k_t)}{dk_t}. Esta é a equação de Euler, que descreve a condição necessária que tem que ser satisfeita em qualquer trajetória ótima. É chamada de condição de Keynes-Ramsey.

Neste problema, o capital (e consumo) do estado estacionário são inferiores ao da regra de ouro, devido à taxa de impaciência \theta dos indivíduos.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. BLANCHARD, Olivier Jean e FISCHER, Stanley. Lectures on Macroeconomics. The MIT Press (March 21, 1989). ISBN 0262022834, ISBN 978-0262022835. Capítulo 2.
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