Modo normal

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa
Question book.svg
Esta página ou secção não cita nenhuma fonte ou referência, o que compromete sua credibilidade (desde outubro de 2013).
Por favor, melhore este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto por meio de notas de rodapé. Encontre fontes: Googlenotícias, livros, acadêmicoYahoo!Bing. Veja como referenciar e citar as fontes.
Vários modos normais de una rede unidimensional.

Um modo normal de um sistema oscilatório é a frequência na qual a estrutura deformável oscilará ao ser perturbada. Os modos normais são também chamados frequências naturais ou frequências ressonantes. Para cada estrutura existe um conjunto destas frequências que é único.

É usual utilizar um sistema formado por uma massa e uma mola para ilustrar o comportamento de uma estrutura deformável. Quando este tipo de sistema é excitado numa das suas frequências naturais, todas as massas movem-se com a mesma frequência. As fases das massas são exactamente as mesmas ou exactamente as contrárias. O significado prático pode ser ilustrado mediante um modelo de massa e mola de um edifício. Se um terremoto excita o sistema com uma frequência próxima a una das frequências naturais o deslocamento de um piso (nível) em relação a outro será máximo. Obviamente, os edifícios só podem suportar deslocamentos de até uma certa magnitude. Ser capaz de representar um edifício e encontrar os seus modos normais é uma forma fácil de verificar se o desenho do edifício é seguro. O conceito de modos normais também é aplicável em teoria ondulatória, óptica e mecânica quântica.

Exemplo - modos normais de osciladores acoplados[editar | editar código-fonte]

Sejam dois corpos (não afectados pela gravidade), cada um deles de massa M, vinculados a três molas com constante característica K. Os mesmos encontram-se vinculados da seguinte maneira:

Two masses.png

onde os puntos em ambos os extremos estejam fixos e não se possam deslocar. Utiliza-se a variável x1(t) para identificar o deslocamento da massa da esquerda, e x2(t) para identificar o deslocamento da massa da direita.

Se se indica a derivada segunda de x(t) com respeito ao tempo como x″, as equações de movimentos são:


M x_1'' = - K (x_1) - K (x_1 - x_2) \,

M x_2'' = - K (x_2) - K (x_2 - x_1) \,

Prova-se uma solução do tipo:


x_1(t) = A_1 e^{i \omega t} \,

x_2(t) = A_2 e^{i \omega t} \,

Substituindo estas nas equação de movimento, obtem-se:


-\omega^2 M A_1 e^{i \omega t} = - 2 K A_1 e^{i \omega t} + K A_2 e^{i \omega t} \,

-\omega^2 M A_2 e^{i \omega t} = K A_1 e^{i \omega t} - 2 K A_2 e^{i \omega t} \,

dado que o factor exponencial é comum a todos los termos, pode-se omitir e simplificar a expressão:


(\omega^2 M - 2 K) A_1 + K A_2 = 0 \,

K A_1 + (\omega^2 M - 2 K) A_2 = 0 \,

O que em notação matricial é:


\begin{bmatrix}
\omega^2 M - 2 K & K \\
K & \omega^2 M - 2 K
\end{bmatrix} \begin{pmatrix} A_1 \\ A_2 \end{pmatrix} = 0

Para que esta equação não tenha uma solução não trivial, a matriz da esquerda deve ser singular, portanto o determinante da matriz deve ser igual a zero, portanto:


(\omega^2 M - 2 K)^2 - K^2 = 0 \,

Resolvendo para \omega, existem duas soluções:

\omega_1 = \sqrt{\frac{K}{M}} \,
\omega_2 = \sqrt{\frac{3 K}{M}} \,

Se se substitui \omega_1 na matriz e se resolve para (A_1, A_2), obtem-se (1, 1). Se se substitui \omega_2, obtem-se (1, -1). (Estes vectores são autovectores, e as frequências denominam-se autovalores.)

O primeiro modo normal é:


\begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix} \cos{(\omega_1 t + \phi_1)}

e o segundo modo normal é:


 \begin{pmatrix} x_1(t) \\ x_2(t) \end{pmatrix} = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cos{(\omega_2 t + \phi_2)}

A solução geral é uma sobreposição dos modos normais onde c1, c2, φ1, e φ2, são determinados pelas [[condições iniciais do problema.

O processo demonstrado aqui pode ser generalizado utilizando o formalismo da mecânica lagrangiana ou mecânica hamiltoniana.

Ondas estacionárias[editar | editar código-fonte]

Uma onda estacionária é uma forma contínua de modo normal. Numa onda estacionária, todos os elementos do espaço (ou seja as coordenadas (x,y,z)) oscilam com a mesma frequência e em fase (alcançando o ponto de equilíbrio juntas), mas cada uma delas com uma amplitude diferente.

A forma general de uma onda estacionária é:


\Psi(t) = f(x,y,z) (A\cos(\omega t) + B\sin(\omega t))

onde f(x, y, z) representam a dependência da amplitude com a posição e o seno e coseno são as oscilações no decurso do tempo.

Onda estacionária gerada pela sobreposição de duas ondas viajantes. Observa-se a onda estacionária de cor negra, a onda de cor celeste desloca-se até à direita, enquanto que a onda de cor vermelha desloca-se até à esquerda. Em cada ponto e instante de tempo a onda negra obtem-se somando os valores de deslocamento nessa posição e esse instante de tempo.

Em termos físicos, as ondas estacionárias são produzidas pela interferência (sobreposição) de ondas e suas reflexões (apesar de que também é possível dizer justamente o oposto; que uma onda viajante é uma sobreposição de ondas estacionárias). A forma geométrica do meio determina qual será o padrão de interferência, ou seja determina a forma f(x, y, z) da onda estacionária. Esta dependência no espaço é chamada um modo normal.

Usualmente, em problemas com dependência contínua de (x,y,z) não existe um número determinado de modos normais, em mudança existe um número infinito de modos normais. Se o problema está delimitado (ou seja está definido numa porção restringida do espaço) existe um número discreto infinito de modos normais (usualmente numerados n = 1,2,3,...). Se o problema não está delimitado, existe um espectro contínuo de modos normais.

As frequências permitidas dependem dos modos normais como também das constantes físicas do problema (densidade, tensão, pressão, etc.) o que determina a velocidade de fase da onda. A classe de todas as frequências normais é no geral chamado o espectro de frequências. De modo geral, cada frequência está modulada pela amplitude na qual foi gerado, dando lugar a um gráfico do espectro de potência das oscilações.

No âmbito da música, os modos normais de vibração dos instrumentos (cordas, sopro, percussão, etc.) são chamados "harmónicos".

Modos normais em mecânica quântica[editar | editar código-fonte]

Em mecânica quântica, o estado \ | \psi \rang de um sistema descreve-se pela sua função de onda \ \psi (x, t) , a qual é uma solução da equação de Schrödinger. O quadrado do valor absoluto de \  \psi , ou seja:


\ P(x,t) = |\psi (x,t)|^2

é a densidade de probabilidad de medir a partícula na posição x no tempo t.

Usualmente, quando se relaciona com algum tipo de potencial, a função de onda descompõe-se na sobreposição de autovectores de energia definida, cada um oscilando com uma frequência  \omega = E_n / \hbar . Portanto, pode-se expressar:


|\psi (t) \rang = \sum_n |n\rang  \left\langle n | \psi ( t=0) \right\rangle   e^{-iE_nt/\hbar}

Os autovectores possuem um significado físico mais além da base ortonormal. Quando se mede a energia do sistema, a função de onda colapsa num de seus autovectores e portanto a função de onda da partícula descreve-se pelo autovector puro correspondente à energea medida.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]