Momento de inércia

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Em mecânica, o momento de inércia, ou momento de inércia de massa, expressa o grau de dificuldade em se alterar o estado de movimento de um corpo em rotação. Diferentemente da massa inercial (que é um escalar), o momento de inércia ou Tensor de Inércia também depende da distribuição da massa em torno de um eixo de rotação escolhido arbitrariamente. Quanto maior for o momento de inércia de um corpo, mais difícil será fazê-lo girar ou alterar sua rotação. Contribui mais para o aumento do valor do momento de inércia a porção de massa que está afastada do eixo de giro. Um eixo girante fino e comprido, com a mesma massa de um disco que gira em relação ao seu centro, terá um momento de inércia menor que este. Sua unidade de medida, no SI, é quilograma vezes metro ao quadrado (kg·m²). Em mecânica clássica, momento de inércia também pode ser chamado inércia rotacional, momento polar de inércia.

Para movimentos planos de um corpo, a trajetória de todos os pontos acontece em planos paralelos e a rotação ocorre apenas em torno do eixo perpendicular a esse plano. Neste caso, o corpo tem um único momento de inércia, medido em torno desse eixo.

Cálculo[editar | editar código-fonte]

Por definição, o momento de inércia J\,\! de uma partícula de massa m\,\! e que gira em torno de um eixo, a uma distância r\,\! dele, é

J = mr^2.

Se um corpo é constituído de n massas pontuais (partículas), seu momento de inércia total é igual à soma dos momentos de inércia de cada massa:

J = \sum_{i=1}^{n} m_i r_i^2,

sendo m_i a massa de cada partícula, e r_i sua distância ao eixo de rotação.

Para um corpo rígido, podemos transformar o somatório em uma integral, integrando para todo o corpo C o produto da massa m\,\! em cada ponto pelo quadrado da distância r\,\! até o eixo de rotação:

J = \int_C r^2\,dm\,\!.

essa integral pode ser expressa para volumes:

I_c = \int_z\int_y\int_x (x^2+y^2+z^2)\rho(x,y,z)\,dx\,dy\,dz\,\!.

Sendo \rho(x,y,z) a densidade do corpo no ponto (x,y,z) do espaço.

Exemplos[editar | editar código-fonte]

Há vários valores conhecidos para o momento de inércia de certos tipos de corpos rígidos. Alguns exemplos (assumindo distribuição uniforme de massa):

  • Para um cilindro maciço de massa M e raio da base R, em torno de seu eixo:
J = \frac{1}{2}MR^2
  • Para uma esfera maciça de massa M e raio R, em torno de seu centro:
J = \frac{2}{5}MR^2
  • Para um anel cilíndrico de massa M e raio R, em torno de um eixo paralelo à geratriz e passando por seu centro:
J = MR^2
  • Para um cilindro vazado de raio externo R e de raio interno r, em torno do seu eixo:
J = \frac{M}{2}(r^2+R^2)
  • Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento L, perpendicularmente à barra e passando por seu centro:
J = \frac{1}{12}ML^2
  • Para uma barra delgada, com área de seção transversal tendendo a 0 e comprimento L, perpendicularmente à barra e passando por uma de suas extremidades:
J = \frac{1}{3}ML^2

Ver também[editar | editar código-fonte]


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