Movimento browniano geométrico

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O movimento browniano geométrico (MBG) (também chamado de movimento geométrico browniano e movimento browniano exponencial) é um processo estocástico contínuo no qual o logaritmo de uma quantidade variando aleatoriamente segue um movimento Browniano, ou um processo de Wiener. É aplicável à modelagem matemática de certos fenômenos nos mercados financeiros, sendo utilizado particularmente no campo da precificação de opções, uma vez que uma quantidade que segue um MBG pode assumir qualquer valor positivo, e somente mudanças percentuais nas variáveis aleatórias são importantes. Isso é uma boa aproximação da dinâmica de preço das ações, exceto para alguns poucos eventos.

Um processo estocástico St segue um MBG se satisfaz a seguinte equação diferencial estocástica:

 dS_t = \mu S_t\,dt + \sigma S_t\,dW_t

onde  W_t é um movimento Browniano ou processo de Wiener e  \mu ('variação percentual - percentage drift') e  \sigma ('volatilidade percentual') são constantes.

Para qualquer valor inicial S0 a equação tem a solução analítica

 S_t = S_0\exp\left( \left(\mu - \frac{\sigma^2}{2} \right)t + \sigma W_t\right),

que é uma variável aleatória com distribuição log-normal com valor esperado \mathbb{E}(S_t)= e^{\mu t}S_0 e variância \operatorname{Var}(S_t)= e^{2\mu t}S_0^2 \left( e^{\sigma^2 t}-1\right).

A demonstração da solução pode ser verificada com a utilização do lema de Itō. A variável aleatória log(St/S0) é normalmente distribuída com média  (\mu - \sigma^2/2)t e variância  \sigma^2t, refletindo o fato de que incrementos de um MBG são normais relativos ao preço atual, causa pela qual o processo leva o nome de 'geométrico'.

Ver também[editar | editar código-fonte]