Movimento parabólico

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Movimento parabólico

O movimento parabólico é caracterizado por dois movimentos simultâneos em direções perpendiculares, mais especificamente um deles um Movimento Retilíneo Uniforme e outro um Movimento Retilíneo Uniformemente Variado. Dadas essas circunstâncias o móvel se desloca segundo uma parábola. Tais circunstâncias podem ser observadas num simples lançamento oblíquo, onde, desprezando o atrito do ar e demais efeitos o objeto se desloca verticalmente acelerado pela ação da gravidade local, e, horizontalmente se desloca seguindo velocidade constante.

Demonstração[editar | editar código-fonte]

Através de ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral é possível descrever com exatidão as situações em que a trajetória um dado projétil é parabólico. Inicialmente, é razoável considerar que um corpo quando arremessado tem sua trajetória descrita num plano. Consideraremos então que o projétil se desloca no plano cartesiano x0y. Assim, sabendo a velocidade e a posição (aqui especificamente expressadas na base canônica) no instante inicial t=0:

\vec{v_0} = v_{0x}\vec i+v_{0y}\vec j\,
\vec{r_0}=x_0\vec i+y_0\vec j

Considerando que o corpo não sofre nenhum tipo de influência externa, com exceção da gravidade local, é possível concluir que:

\vec a = a_x \vec i + a_y \vec j = -g \vec j\,

Onde, g é a constante de aceleração da gravidade.

Usando a definição de aceleração:

\vec a = \frac {d\vec v}{dt}
\int\limits_{\vec v_0}^{\vec v}d\vec v=\int\limits_{0}^{t}\vec a dt=\int\limits_{0}^{t}-g\vec jdt
\vec v-\vec v_0=-gt\vec j\,
\vec v = v_{0x}\vec i+(-gt + v_{0y})\vec j\,

De maneira semelhante, usando a definição de velocidade é possível encontrar a função da trajetória do móvel de acordo com o tempo, e consequentemente, a equação da trajetória:

\vec v=\frac{d\vec r}{dt}\,
\vec r = \underbrace{(v_{0x}t+x_0)}_x\vec i+\underbrace{\left (-\frac {gt^2}{2}+v_{0y}t+y_0\right )}_y\vec j, supondo que o movimento começa no ponto de cordenadas (x_0,y_0)\,
x=v_{0x}t+x_0\,
t=\frac{x-x_0}{v_{0x}}, v_{0x}\ne0

Substituindo em y, temos que:

y=-\frac {g}{2}\left (\frac {x-x_0}{v_{0x}}\right )^2+v_{0y}\left (\frac{x-x_0}{v_{0x}}\right )+y_0
y=\frac {-gx^2+2gx_0x-gx_0^2}{2v_{0x}^2}+\frac {v_{0y}x-v_{0y}x_0}{v_{0x}}+y_0
y=x^2\left (-\frac {g}{2v_{0x}^2}\right )+x\left (\frac{gx_0}{v_{0x}^2}+\frac {v_{0y}}{v_{0x}}\right )+\left (-\frac{gx_0}{2v_{0x}^2}-\frac {v_{0y}x_0}{v_{0x}}+y_0\right )

Que é facilmente reconhecida como uma equação de segundo grau.

Para os casos particulares de queda livre ou lançamento vertical, onde v_{0x}=0\,, seria necessária outra dedução com certas considerações que fogem do escopo deste artigo, afinal a trajetória de tais movimentos não seria uma parábola.

Fórmulas do Movimento Parabólico[editar | editar código-fonte]

Sem as ferramentas do Cálculo Diferencial e Integral ainda assim é possível construir equações que modelam esse tipo de situação. Por exemplo, se um projétil é disparado a partir do solo com uma velocidade inicial \,\!v_0, formando um ângulo \,\!\phi com o solo, em um local com aceleração da gravidade constante \,\!g. A partir das fórmulas de movimento da cinemática, é possível construir fórmulas diretas, nas quais \,\!A é o alcance do projétil e \,\!\Delta t é o tempo que o projétil leva para atingir o solo.

A\,\!=\frac{v_0^2\,\operatorname{sen}\,(2\phi)}{g}
\Delta t\,\!=\frac{2\,v_0\,\operatorname{sen}\,\phi}{g}
\Delta t\,\!=\frac{A\,\operatorname{sec}\,\phi}{v_0\,}


No topo do vôo, só existirá a componente horizontal da velocidade, que durante toda a trajetória mantém-se constante, desde que os atritos com o ar sejam desprezíveis. Essa componente v_x é tal que:

v_x = v_0\,\operatorname{cos}\,\phi

A gravidade atuará, na primeira metade do movimento, como força antimovimento no eixo y referente ao movimento. Logo após o ponto mais alto do vôo, a gravidade começa a atuar como força a favor do movimento (em y), e v_y começa a aumentar.

Pela fórmula do alcance, é possível notar que ele será máximo quando o ângulo de lançamento for de 45°, pois:

A\,\!=\frac{v_0^2\,\operatorname{sen}\,(2\cdot45^\circ)}{g}
A\,\!=\frac{v_0^2\,\operatorname{sen}\,90^\circ}{g}


Como \operatorname{sen}\,90^\circ\!=1


A\,\!=\frac{v_0^2\,}{g}


Qualquer outro valor para \phi\, resultaria em um seno menor que 1.

Ver também[editar | editar código-fonte]

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