Movimento uniformemente variado

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'Movimento uniformemente variado' é o movimento no qual a velocidade escalar varia uniformemente no decorrer do tempo. O movimento caracteriza-se por haver uma aceleração escalar constante e diferente de zero.

Função horária da velocidade[editar | editar código-fonte]

A equação da velocidade em função do tempo é:

v = v_0 + \alpha t

onde:

v (ou v(t)) é a velocidade no momento t;
v_0 é a velocidade inicial. Caso o instante inicial seja t=0, teremos v_0=v(0);
\alpha é a aceleração; e
t é o tempo decorrido desde o início do movimento.

Como a aceleração escalar é a mesma em todos os instantes, ela coincide com a aceleração escalar média, qualquer que seja o intervalo de tempo considerado.

Então escrevemos:

\alpha = \frac {\Delta v} {\Delta t}\Rightarrow \alpha = \frac {v - v_0} {t - 0} \Rightarrow v = v_0 + \alpha t

Essa função estabelece como varia a velocidade escalar no percorrer do tempo no movimento uniformemente variado:v_0 e \alpha são constantes, e a cada valor de t corresponde um único valor de v

Na tabela a seguir vemos alguns exemplos, considerando a velocidade v em metros por segundo (m/s) e a aceleração \alpha em metros por segundo ao quadrado.

v = v_0 + \alpha_t v_0 \alpha
v = 5 + 2t v_0 = +5 m/s \alpha = +2 m/s²
v = -3 + 8t v_0 = -3 m/s \alpha = +8 m/s²
v = 2 + 3t v_0 = 2 m/s \alpha = +3 m/s²
v = 2 - 3t v_0 = +2 m/s \alpha = -3 m/s²
v = -4 - 9t v_0 = -4 m/s \alpha = -9 m/s²

Função horária do espaço[editar | editar código-fonte]

A equação que fornece a posição do móvel em qualquer instante t é:

s = s_0 + v_0t + \frac {\alpha} {2} t^2

A fórmula acima é obtida integrando-se a função horária da velocidade:

\Delta s = \int v(t)dt = \int (v_0 + \alpha t) dt \Rightarrow s - s_0 = v_0t + \frac{\alpha}{2} t^2 \Rightarrow s = s_0 + v_0t + \frac{\alpha}{2} t^2

onde s é a posição (distância) atual do corpo (o s vem do latim spatio, mas também é utilizada o d, por indicar distância), s_0 é a posição da qual ele começou o movimento, v_0 é a velocidade inicial do corpo, a é a aceleração e t é o tempo decorrido desde o início do movimento.[1] Na função horária do MUV, o coeficiente de t^2 é \frac {\alpha}{2}.

Assim , se a função for do tipo: s = 5 +2t + 4t^2 (s em metros e t em segundos) , observaremos que:

4 = \frac {\alpha} {2} \Rightarrow \alpha = 2 \cdot 4 \Rightarrow \alpha = 8 \, \text{ m/s²}

Portanto , para se ter a aceleração escalar \alpha basta multiplicarmos o coeficiente de t^2 por 2.[1] Obtemos assim:

Movimento Uniformemente Variado
s = s_0 + v_0t + \frac {\alpha} {2}t^2      v = v_0 + \alpha t       \alpha = constante \neq 0

Essas funções têm o papel de definir o MUV em qualquer trajetória. No entanto apenas o conhecimento dessas, não permite nenhuma conclusão sobre a forma da trajetória.

Da função horária após identificarmos s_0, v_0 e \alpha , podemos chegar à função horária da velocidade escalar, como vemos no exemplo:

s={\underset{\Bigg\downarrow}{s_0}} + \underset{\Bigg\downarrow}{v_0t} + \underset{\Bigg\downarrow}\frac{\alpha}{2}t^2\xrightarrow[\text{ligando-se à função horária de v}] v v = v_0 + \alpha t

\underbrace {s= 5 - 2t \  + \frac {3} {2}t^2}_{Fs} \Rightarrow Temos: s_0 = 5m;\  v_0 = - 2m/s;\  \alpha = 3m/s^2 \Rightarrow \underbrace {v = -2 + 3t}_{Fv}

Perceba que da função horária dos espaços (Fs) chega-se à função horária da velocidade , representada por (Fv).[1]

Equação de Torricelli no MUV[editar | editar código-fonte]

No MUV há muitos casos em que podemos relacionar a velocidade escalar v em função do espaço s o que é feito com o emprego da equação de Torricelli que mostra-se a seguir:

 v^2 = v_0^2 + 2\alpha tv_0 + \alpha^2t^2 \quad \Rightarrow \quad v^2 = v_0^2 + 2\alpha  \Bigg(v_0t + \frac {\alpha} {2}t^2\Bigg)

Comparando com a função horária ...

 s - s_0 = v_0t + \frac {\alpha} {2}t^2 \quad, temos: v^2 = v_0^2 + 2\alpha(s-s_0)

ou ainda:

 v^2 = v_0^2 + 2 a \Delta s \, equação de Torricelli para o MUV

onde v é a velocidade atual, v_0 é a velocidade inicial, a é a aceleração e \Delta s é a variação de posição durante o movimento.Sabendo-se que as variações são iguais a zero (...) Nessa fórmula, a velocidade escalar varia em função do espaço; v_0 é a velocidade inicial, e \alpha é a aceleração escalar do movimento, podendo ser positiva ou negativa de acordo com as convenções adotadas.[2]

Velocidade média[editar | editar código-fonte]

A velocidade média no MUV é dada pela média aritmética entre a velocidade final e inicial:

 \overline{v} = \frac{\Delta S}{\Delta t} = \frac{v_0+v_f}{2}= v_0 + \frac{at}{2} \,

Gráficos do MUV[editar | editar código-fonte]

Gráfico da velocidade em função do tempo

No movimento uniformemente variado podemos perceber três funções distintas:

  1. Aceleração em função do tempo - Como a aceleração nesse movimento é constante e diferente de zero, então apresenta-se uma função constante. Logo o gráfico apresenta-se como uma reta paralela ao eixo das abscissas.
  2. Velocidade em função do tempo - A função da velocidade em função do tempo é uma função de primeiro grau. Logo apresenta-se como uma linha reta que concorre com o eixo das abscissas.
  3. Deslocamento em função do tempo - O deslocamento em função do tempo é uma função de segundo grau. Logo ela se apresenta como uma parábola.

Referências

  1. a b c Francisco Ramalho Júnior; Nicolau Gilberto Ferraro e Paulo Antônio de Toledo. Os Fundamentos da Física 1: Mecânica (em português). 9ª. ed. São Paulo: Moderna, 2007. 490 pp. p. 65. ISBN 978-85-16-050655-1. Visitado em 2/06/2013.
  2. língua PT | Ramalho ; Nicolau e Toledo "Os Fundamentos da Física 1", 9ª Edição, Editora Moderna 2007, p. 71
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