Multiplicadores de Lagrange

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Figura 1: Encontrar x e y que maximizem f(x,y) sujeito a uma condição (a vermelho) g(x,y)=c.
Figura 2: Curva de nível da Figura 1. A linha a vermelho indica a restrição g(x,y)=c. As linhas azuis são os contornos de f(x,y). A solução ocorre no ponto em que as linhas vermelha e azul se tocam tangencialmente.

Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições[1] .

Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização

maximize f(x, y), ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função
sujeito a g(x, y) = c.

O método consiste em introduzir uma variável nova (\lambda, normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:

 \Lambda(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot \Big(g(x,y)-c\Big),

Nesta função, o termo \lambda pode ser adicionado ou subtraído. Se f(x, y) é um ponto de máximo para o problema original, então existe um \lambda tal que (x,y,\lambda) é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de \Lambdasão iguais a zero.

No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição[2] [3] [4] [5] [6] .

O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.

Definição[editar | editar código-fonte]

Considere uma função de n variáveis f(x_1,x_2,...,x_n)\quad e m funções de restrição g_1(x_1,x_2,...,x_n) \quad ... \quad g_m(x_1,x_2,...,x_n). Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum i para o qual \nabla g_i(x) \ne 0 , se f tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto P(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n), tal que P pertença a uma superfície de restrição de f na qual a seguinte condição seja satisfeita:

 \nabla f(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n) = \sum_{i = 1}^m \lambda_i \nabla g_i(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n)

\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots\, \lambda_m) são os multiplicadores de Lagrange.

A solução recai em resolver um sistema com n + m equações (as n equações obtidas pela diferenciação, e as m restrições gi) e n + m incógnitas (a coordenada de P no espaço de n dimensões e os m multiplicadores de Lagrange).

Utilização[editar | editar código-fonte]

O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. Lagrange Multipliers without Permanent Scarring, por Dan Klein, tutorial hospedado no site da Computer Science Division da Universidade da Califórnia em Berkeley
  2. Bertsekas, Dimitri P.. Nonlinear Programming. Second. ed. Cambridge, MA.: Athena Scientific, 1999. ISBN 1-886529-00-0.
  3. Vapnyarskii, I.B. (2001), "Lagrange multipliers", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4, http://www.encyclopediaofmath.org/index.php?title=L/l057190 .
    • Lasdon, Leon S.. Optimization theory for large systems. New York: The Macmillan Company, 1970. xi+523 pp.
    • Lasdon, Leon S.. Optimization theory for large systems. reprint of the 1970 Macmillan. ed. Mineola, New York: Dover Publications, Inc., 2002. xiii+523 pp.
  4. Hiriart-Urruty, Jean-Baptiste; Lemaréchal, Claude. In: Jean-Baptiste. Convex analysis and minimization algorithms, Volume II: Advanced theory and bundle methods. Berlin: Springer-Verlag, 1993. 136–193 (and Bibliographical comments on pp. 334–335) pp. vol. 306. ISBN 3-540-56852-2.
  5. Lemaréchal, Claude. In: Michael Jünger and Denis Naddef. Computational combinatorial optimization: Papers from the Spring School held in Schloß Dagstuhl, May 15–19, 2000. Berlin: Springer-Verlag, 2001. 112–156 pp. vol. 2241. Recorde militar.doi:10.1007/3-540-45586-8_4. ISBN 3-540-42877-1.

Ligações externas[editar | editar código-fonte]

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