Multiplicadores de Lagrange

Figura 1: Encontrar x e y que maximizem $f(x,y)$ sujeito a uma condição (a vermelho) $g(x,y)=c.$

Figura 2: Curva de nível da Figura 1. A linha a vermelho indica a restrição $g(x,y)=c.$ As linhas azuis são os contornos de $f(x,y).$ A solução ocorre no ponto em que as linhas vermelha e azul se tocam tangencialmente.

Em matemática, em problemas de otimização, o método dos multiplicadores de Lagrange permite encontrar extremos (máximos e mínimos) de uma função de uma ou mais variáveis suscetíveis a uma ou mais restrições .

Por exemplo (veja a figura 1 à direita), considere o problema de otimização

maximize $f(x, y),$ ou seja, deseja-se encontrar o ponto máximo desta função

sujeito a $g(x, y) = c.$

O método consiste em introduzir uma variável nova ($\lambda,$ normalmente), chamada de multiplicador de Lagrange. A partir disso, estuda-se a função de Lagrange, assim definida:

$\Lambda(x,y,\lambda) = f(x,y) + \lambda \cdot \Big(g(x,y)-c\Big),$

Nesta função, o termo $\lambda$ pode ser adicionado ou subtraído. Se $f(x, y)$ é um ponto de máximo para o problema original, então existe um $\lambda$ tal que $(x,y,\lambda)$ é um ponto estacionário para a função lagrangiana, ou seja, existe um ponto para o qual as derivadas parciais de $\Lambda$são iguais a zero.

No entanto, nem todos os pontos estacionários permitem uma solução para o problema original. Portanto, o método dos multiplicadores de Lagrange garante uma condição necessária para a otimização em problemas de otimização com restrição .

O nome "multiplicador de Lagrange" é uma homenagem a Joseph Louis Lagrange.

Definição

Considere uma função de n variáveis $f(x_1,x_2,...,x_n)\quad$ e m funções de restrição $g_1(x_1,x_2,...,x_n) \quad ... \quad g_m(x_1,x_2,...,x_n)$. Sejam estas funções deriváveis em primeira ordem com derivadas contínuas e que para qualquer ponto do domínio existe algum i para o qual $\nabla g_i(x) \ne 0$, se f tiver um extremo relativo dentro de suas restrições, este ponto ocorre em um ponto $P(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n),$ tal que P pertença a uma superfície de restrição de f na qual a seguinte condição seja satisfeita:

$\nabla f(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n) = \sum_{i = 1}^m \lambda_i \nabla g_i(x^*_1, x^*_2, ..., x^*_n)$

$\lambda = (\lambda_1, \lambda_2, \ldots\, \lambda_m)$ são os multiplicadores de Lagrange.

A solução recai em resolver um sistema com n + m equações (as n equações obtidas pela diferenciação, e as m restrições g_i) e n + m incógnitas (a coordenada de P no espaço de n dimensões e os m multiplicadores de Lagrange).

Utilização

O método de lagrange é empregado na resolução de problemas de Programação, é uma ferramenta importante em restrições de igualdade.

Ver também

• Gradiente

Ligações externas

• [1]
• Texto sobre multiplicadores de lagrange com exemplos como encontrar $\lambda:$