Número cardinal

O cardinal indica o número ou quantidade dos elementos constituintes de um conjunto. É interessante destacar que se diferencia do ordinal, porque o ordinal introduz ordem e dá ideia de hierarquia: Primeiro, segundo, terceiro, etc. O cardinal, por sua vez, nomeia o número de elementos constituintes e esse é o nome do conjunto correspondente. Para a nomenclatura destes números ver nomes dos números.

Os numerais podem ser cardinais ou ordinais. O número cardinal é aquele que expressa uma quantidade única, enquanto o número ordinal indica a ordem ou a série em que determinado número se encontra.

Em geral, aprendemos e nos acomodamos tão facilmente a passar do ponto de vista cardinal para o ordinal, que quase não distinguimos mais essa diferença. Num exemplo simples: o mês de setembro é composto de 30 dias. O número 30 indica o total, a quantidade absoluta, de dias desse mês. Trata-se, portanto, de um número cardinal.

Porém, empregamos outro ponto de vista quando dizemos "dia 30 de outubro". Nesse caso o número 30 não está sendo usado para indicar os 30 dias do mês, mas o trigésimo dia de outubro, especificando o seu lugar na ordem de sucessão dos dias desse mês, explicando uma ordem. Trata-se, então, de uma utilização ordinal.

Dado um conjunto A, o cardinal deste conjunto é simbolizado por |A|

Por exemplo: Se A tem 3 elementos o cardinal indica-se |A| = 3

Existe uma relação entre o cardinal de um conjunto e o conjunto de partes ou conjunto potência:

$|A| = n \Rightarrow |P(A)| = 2^n$

Onde |P(A)| é o cardinal do conjunto de partes.

Os números cardinais de alguns conjuntos representam-se com símbolos especiais:

• O cardinal dos números reais: card($\mathbb{R}$) = c (contínuo)
• O cardinal dos números naturais: card($\mathbb{N}$) = $\aleph_0$ (alef-0)

A teoria dos conjuntos define rigorosamente o que significa $|A| = |B|$ e $|A| \le |B|$ e, em consequência, os demais símbolos de comparação; por exemplo:

$|A| > |B| \leftrightarrow (|B| \le |A| \land \lnot (|A| = |B|))$

• $|A| = |B|$ quando existe uma bijeção entre A e B
• $|A| \le |B|$ quando existe uma função injetiva de A para B

O teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder mostra que, se $|A| \le |B|$ e $|B| \le |A|$, então $|A| = |B|$.

Ao se considerar os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha, pode-se provar que, se A e B são conjuntos, então $|A| \le |B| \lor |B| \le |A|$. Junto com o teorema de Cantor-Bernstein-Schroeder, qualquer conjunto formado por cardinais é bem ordenado, o que permite escrever qualquer cardinal infinito da forma $\aleph_\alpha$, sendo $\alpha$ um ordinal.

A hipótese do continuum diz que c (cardinal dos números reais) é igual a $\aleph_1$, e sua negação diz que existe um conjunto X tal que $|\mathbb{N}| < |X| < |\mathbb{R}|$.

Definição formal

Usando-se os axiomas de Zermelo-Fraenkel com o axioma da escolha (ZFC), pode-se definir o cardinal de um conjunto $A^{\,}$ como o menor número ordinal $\alpha_\mbox{ }$ equipotente com $A^{\,}$. Em outras palavras, $\left| A^{\,} \right|$ é o menor ordinal $\alpha^{\,}$, tal que existe $f^{\,}$ bijetora, $f\! : \!\alpha \rightarrow A$

Para esta definição fazer sentido, é preciso mostrar que este ordinal existe, e que ele é único. Se o conjunto $A$ é não vazio, então pelo Axioma da escolha pode ser bem ordenado e, portanto, equipotente a algum ordinal. Ou seja, o conjunto dos ordinais equipotentes a $A$ é não vazio. Novamente, pelo Axioma da escolha, existe um menor ordinal equipotente a $A$.

Operações com Cardinais

Sucessor

Como |A| < |P(A)|, então, pela boa-ordenação dos cardinais, existe um menor cardinal maior que |A|. No caso de |A| ser finito, o sucessor no contexto de cardinais é o mesmo que no contexto de ordinais, mas, para |A| infinito, isso não é verdade.

O sucessor de um cardinal α é representado por α⁺. No caso geral, em que α é infinito, α⁺ > α + 1.

Soma

A soma |A| + |B| é definida como o cardinal da união disjunta de A e B. Uma forma de construir uma união disjunta é através do produto cartesiano com um conjunto unitário:

• $|A| + |B| = | A \times \{0\} \cup B \times \{1\}|\,$

Produto

O produto cartesiano define o produto de cardinais:

• $|A| \times |B| = |A \times B|\,$

Potência

A conjunto das funções de B em A, convenientemente representado por $A^B\,$, permite definir a potência entre cardinais:

• $|A|^{|B|} = |A^B|\,$

Em particular, temos que

• $|A|^0 = 1\,$

porque existe uma função $f: \varnothing \to A\,$, que é a função cujo gráfico é o próprio conjunto vazio.

Note-se também que:

• $|P(A)| = 2^{|A|}\,$

através da bijeção $f: 2^A \to P(A)\,$, definida por

• $f(g) = \{ x \in A | g(x) = 1 \}\,$.

Neste contexto, $2^A\,$ é o conjunto das funções de domínio A e contra-domínio 2 = {0, 1}, mas a relação acima motiva a notação (indevida) de $2^A\,$ para o conjunto das partes.

Em contraste com as operações de soma e produto, a potência de cardinais produz números bem maiores que a potência de ordinais. Por exemplo, os ordinais $\omega + \omega\,$, $\omega . \omega\,$ são ordinais maiores que $\omega\,$, porém sua cardinalidade é $\aleph_0\,$, a mesma de $\omega\,$. Porém $2 ^ \omega\,$ e $\omega ^ \omega\,$ são ordinais cuja cardinalidade é $\aleph_0\,$. ^{[carece de fontes]}

Tipos de Cardinais

Cardinal sucessor

Um cardinal $\alpha^{\,}$ que é o sucessor de um outro cardinal $\beta^{\,}$, ou seja $\alpha = \beta^{+\!}$ é dito cardinal sucessor. Nesse caso, $\beta^{\,}$ é dito o antecessor de $\alpha^{\,}$. Por exemplo, o número 3 é um cardinal sucessor, pois 3 é o sucessor de 2 (e 2 o antecessor de 3). Por outro lado, o cardinal 0 não é sucessor, poi não tem antecessor.

Cardinal limite

Um cardinal infinito que não é sucessor é denominado cardinal limite e em $\aleph_\alpha$ temos que $\alpha = \mbox{0}$ ou $\alpha$ é um ordinal limite. Como consequência disso, se $\kappa^{\,}$ é um cardinal limite, então:

Se $\lambda < \kappa^{\,}$, então $\lambda^{+} < \kappa^{\,}$

Cardinal limite forte

De maneira análoga à propriedade dos cardinais limites, pode ser definida uma propriedade mais forte. Um cardinal $\kappa^{\,}$ diz-se limite forte se:

Se $\lambda < \kappa^{\,}$, então $\left| \mathcal{P} \left(\lambda \right) \right| < \kappa^{\,}$

Equivalentemente:

Se $\lambda < \kappa^{\,}$, então $2^{\lambda} < \kappa^{\,}$

E portanto:

$\forall\lambda < \kappa^{\,} \left( 2^{\lambda} < \kappa^{\,} \right)$

Todo cardinal limite forte é também um cardinal limite.

Em ZF mais a Hipótese Generalizada do Contínuum as propriedades "ser uma cardinal limite" e "ser um cardinal limite forte" são equivalentes.

Cardinal regular e singular

Um cardinal $\kappa^{\,}$ que é igual a sua própria cofinalidade, $\kappa^{\,} = \mbox{cf}\left(\kappa^{\,}\right)$ é denominado regular. Caso contrário, diz-se singular.

Cardinais finitos

Note-se que as definições acima são consistentes com as operações binárias usuais para números naturais, exceto $0^0\,$ que não está definido para números naturais, mas, para cardinais, é igual a um.

Bibliografia

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• HRBACEK, Karen;JECH, Thomas. Introduction to set theory (em inglês). 3a. ed. New York: Marcel Dekker, 1999.
• JECH, Thomas. Set theory (em inglês). 3a. ed. Berlin: Springer, 2006. ISBN 3-540-44085-2
• LEVY, Azriel. Basic set theory (em inglês). Mineola, New York: Dover, 2002.
• KUNEN, Kenneth. Set theory: an introduction to independence proofs (em inglês). Amsterdam: Elsevier, 1980. ISBN 0-444-86839-9