Número complexo hiperbólico

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Na matemática, os números complexos hiperbólicos são uma extensão bidimensional dos números reais definidos de forma análoga aos números complexos.[1] A diferença geométrica principal entre os dois é que enquanto a multiplicação de números complexos respeita a norma euclidiana (quadrada) padrão (x2 + y2) em R2, a multiplicação de números complexos hiperbólicos respeita a norma (quadrada) de Minkowski (x2y2).

Algebricamente os números complexos hiperbólicos têm a propriedade interessante, ausente nos números complexos, de ter idempotentes.[1] Além disso, a coleção de todos os números complexos hiperbólicos não dá forma a um corpo, mas, em vez disso, essa estrutura está na mais larga categoria de anéis. Os números complexos têm muitos outros nomes; ver a seção dos sinônimos abaixo.

Definição[editar | editar código-fonte]

Um número complexo hiperbólico é um número na forma:[1]

z = x + hy\,\!

onde x e y são números reais e a quantidade h satisfaz:

h^2 = + 1\,\!

Escolhendo h2 = − 1 resulta nos números complexos. É esta mudança do sinal que distingue os números complexos hiperbólicos dos complexos. A quantidade h aqui é um não número real mas uma quantidade independente; isto é, não é igual a ± 1.

A coleção de todo z é chamado de plano complexo hiperbólico. A adição e a multiplicação de números complexos hiperbólicos são definidas por:

(x + hy) + (u + hv) =\,\! (x + u) + h(y + v)\,\!
(x + hy) (u + h v) =\,\! (xu + yv) + h(xv + yu)\,\!.

Essa multiplicação é comutativa, associativa e distributiva em relação à adição.

Conjugado, norma e produto interno[editar | editar código-fonte]

Exatamente como para aos números complexos, pode-se definir a noção de conjugado de um número complexo hiperbólico. Se

z = x + hy\,\!

o conjugado de z é definido como

\overline z = x - hy\,\!

O conjugado satisfaz a propriedades similares às do conjugado do número complexo usual. A saber,

\overline {(z + w)}=\,\! \overline z + \overline w\,\!
\overline {(zw)} =\,\! \overline z \overline w\,\!
\overline {(\overline z)} =\,\! z\,\!

Essas três propriedades implicam que o conjugado número complexo hiperbólico é um automorfismo de ordem 2. A forma quadrática de um número complexo hiperbólico z = x + hy é dada por:

|z|\,\! = z\overline z =\,\! \overline zz =\,\! x^2 - y^2\,\!.

Há uma propriedade importante que está preservado pela multiplicação complexa hiperbólica:

|zw| = |z||w|\,\!

Entretanto, essa forma quadrática não é positiva-definitiva mas tem, em vez disso, a assinatura (1.1), então ela não é uma norma.

Aplicação[editar | editar código-fonte]

Os números complexos hiperbólicos são a linguagem natural para tratar da Relatividade Especial em duas dimensões; os divisores de zero representam o cone de luz da relatividade.[1]

Ver também[editar | editar código-fonte]

Referências

  1. a b c d P. Fjelstad and S. G. Gal, n-Dimensional Hyperbolic Complex Numbers [em linha]