Número de Euler

Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre.
Ir para: navegação, pesquisa

  Parte de uma série de artigos sobre
a constante matemática e

Euler's formula.svg

Logaritmo natural · Função exponencial

Aplicações em: juros compostos · identidade de Euler & fórmula de Euler  · meia-vida & crescimento/decaimento exponencial

Definindo e: Prova de irracionalidade do número de Euler  · representações de e · teorema de Lindemann–Weierstrass

Pessoas John Napier  · Leonhard Euler

conjectura de Schanuel

Retrato de Leonhard Euler (autoria de Johann Georg Brucker).

Na matemática, o número de Euler, denominado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática, número exponencial etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)

para r=k=1, ou seja:

e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n

ou ainda, substituindo-se n por \frac{1}{h}

e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}

Cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Caracterizações menos triviais de e[editar | editar código-fonte]

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:  \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e

O número e pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para e^{x} quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:

e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots

Aqui n! representa o fatorial de n.

A função e^{x} (função exponencial de base e) pode ser representada da seguinte forma:

(\forall x\in\mathbb{R}), exp(x)=e^x

assim, por exemplo, tem-se :

\exp(3)=e\times e \times e=e^3 ou ainda
\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}

Outra maneira de se encontrar o valor de e é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:

e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}

Ou, de forma mais simplificada (sequência [[OEIS:{{{1}}}|{{{1}}}]] na OEIS):

e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,

que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:

 e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,

Muitas outras séries, seqüências, frações contínuas e produtos infinitos que representam e já foram desenvolvidas.

O Número e no Cálculo[editar | editar código-fonte]

A função exponencial y=e^{x} tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}

Isto significa que e tem a notável propriedade de que a taxa de variação de e^{x} no ponto x = t vale e^{t}. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções y=ke^{x}, (\forall k\in\mathbb{R}) também são suas próprias derivadas.

Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir e como sendo o único número maior que zero tal que:

\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}

Mais Sobre e[editar | editar código-fonte]

O número e é um número irracional e transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:

e^{i\pi}+1=0 \,

Obtém-se tal relação por meio da fórmula:

e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!

que, por sua vez, advém da série de Taylor para f(ix)=e^{ix}.

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial.

Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

e como séries infinitas[editar | editar código-fonte]

Dentre as várias séries infinitas que resultam em e, têm-se, além da trivial:

e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}

e como limites e produtos infinitos[editar | editar código-fonte]

Os produtos infinitos

 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots

e

 e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,

Em que o n-ésimo fator corresponde à raiz do produto

\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},

resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:

 e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}
 e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]
O Número de Euler com os primeiros 510 dígitos decimais
e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247
\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382
\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629
\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763
\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089
\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411
\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838
\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113
\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692
\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953
\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230
\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots

Ver também[editar | editar código-fonte]

Ligações externas[editar | editar código-fonte]