Número de Euler

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Nota: Se procura constante de Euler, consulte constante de Euler.

Retrato de Leonhard Euler (autoria de Johann Georg Brucker).

Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilã), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

$e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n$

e vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

O número também pode ser escrito como a soma da série infinita:

$e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!} + {1 \over 2!} + {1 \over 3!} + {1 \over 4!} + \cdots$

Aqui n! representa o fatorial de n. Pode-se ainda definir e como sendo o único número x > 0 tal que:

$\ln{x} = \int_{1}^{x} \frac{dt}{t} = {1}$

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler :

$e^{i\pi}+1=0 \,$

O desenvolvimento da fração contínua de $e$ pode ser escrito sob a forma interessante :

$e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}$

Leonhard Euler começou a usar a letra $e$ para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de $e$ foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra $e$ são desconhecidas, mas talvez seja porque $e$ seja a primeira letra da palavra exponencial.

$e$ tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de $e x$ no ponto x = t vale $e t$ daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou ainda, se se escolherem números entre $z e r o$ e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a $e$ .