Número normal

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Em Matemática, um número normal é um número real cujos algarismos são distribuídos de maneira aleatória no seu desenvolvimento decimal, isto é, os algarismos aparecem todos com a mesma freqüência. Os "algarismos" se referem aos algarismos antes da vírgula (a parte inteira) e a seqüência infinita de algarismos após a vírgula (parte decimal).

Suponha-se b > 1 um número inteiro e x um número real. Consideremos a seqüência de algarismos de x em um sistema de numeração de base b. Se s é uma seqüência infinita de algarismos em base b, escreve-se N(s,n) para o número de aparições da seqüência s entre os primeiros n algarismos de x. O número x é chamado normal em base b se

\lim_{n\to\infty} \frac{N(s,n)}{n} = \frac{1}{b^{k}}

para cada seqüência s de comprimento k. Expresso em palavras: a probabilidade de se encontrar a seqüência s entre os algarismos de x é exatamente aquela esperada se a seqüência de algarismos for produzida de maneira completamente aleatória. O número x é chamado de número normal (ou também de número absolutamente normal) se ele for normal em toda base b.

Este conceito foi introduzido pelo matemático francês Émile Borel em 1909.

Um problema até agora sem solução tem sido provar a normalidade de vários números, exceto aqueles que são construídos de forma a serem normais. Por exemplo, não se sabe se √2, π, ln(2) ou e são normais (mas existem conjecturas, baseadas em evidências empíricas, de que eles são). Não foi possível provar se todos os dígitos aparecem infinitamente nas expansões decimais destes números. Outra conjectura é que todo número real irracional algébrico é normal; apesar de nenhum contra-exemplo ter sido encontrado, também não se provou que nenhum destes números é normal. [carece de fontes?]


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