Número primo

Número primo, é um número que o conjunto dos divisores de p, que não são inversíveis, não é vazio, e todos seus elementos são produtos de p por inteiros inversíveis. Por definição, $0,$ $1$ e $-1$ não são números primos.

Um número inteiro primo, é aquele que tem exatamente quatro divisores distintos, $p \in \mathbb{Z}$: $\pm 1$ e $\pm p.$. Já um número natural primo tem exatamente dois divisores naturais distintos: o número um e ele mesmo .

A propriedade de ser um primo é chamada "primalidade", e a palavra "primo" também é utilizada como substantivo ou adjetivo, se um número inteiro tem módulo maior que um e não é primo, diz-se que é composto ($0,$ $1$ e $-1$ também não são compostos). Como "dois" é o único número primo par, o termo "primo ímpar" refere-se a todo primo maior do que dois.

Existem infinitos números primos, como demonstrado por Euclides por volta de 300 a.C.. O conceito de número primo é muito importante na teoria dos números. Um dos resultados da teoria dos números é o Teorema Fundamental da Aritmética, que afirma que qualquer número natural diferente de 1 pode ser escrito de forma única (desconsiderando a ordem) como um produto de números primos (chamados fatores primos): este processo se chama decomposição em fatores primos (fatoração).

Existem 168 números primos positivos menores do que 1000. São eles:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151, 157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199, 211, 223, 227, 229, 233, 239, 241, 251, 257, 263, 269, 271, 277, 281, 283, 293, 307, 311, 313, 317, 331, 337, 347, 349, 353, 359, 367, 373, 379, 383, 389, 397, 401, 409, 419, 421, 431, 433, 439, 443, 449, 457, 461, 463, 467, 479, 487, 491, 499, 503, 509, 521, 523, 541, 547, 557, 563, 569, 571, 577, 587, 593, 599, 601, 607, 613, 617, 619, 631, 641, 643, 647, 653, 659, 661, 673, 677, 683, 691, 701, 709, 719, 727, 733, 739, 743, 751, 757, 761, 769, 773, 787, 797, 809, 811, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 863, 877, 881, 883, 887, 907, 911, 919, 929, 937, 941, 947, 953, 967, 971, 977, 983, 991 e 997.

Exemplos de decomposições:

• $4 = 2 \times 2$
• $6 = 2 \times 3$
• $8 = 2 \times 2 \times 2$
• $9 = 3 \times 3$
• $10 = 2 \times 5$
• $472.342.734.872.390.487 = 3 \times 7 \times 827 \times 978.491 \times 27.795.571$

Os átomos da aritmética

Os gregos foram os primeiros a perceber que qualquer número natural, exceto o 1, pode ser gerado pela multiplicação de números primos, os chamados blocos de construção". A primeira pessoa, até onde se sabe, que produziu tabelas de números primos foi Eratóstenes, no terceiro século a.C. Ele escrevia inicialmente uma lista com todos os números de 1 a 1000. Em seguida escolhia o primeiro primo, 2, e eliminava da lista todos os seus múltiplos. Passava ao número seguinte que não fora eliminado e procedia também eliminando todos os seus múltiplos. Desta forma Eratóstenes produziu tabelas de primos, mais tarde este procedimento passou a se chamar de crivo de Eratóstenes.

Durante o século XVII os matemáticos descobriram o que acreditavam ser um método infalível para determinar se um número $N$ era primo: calcule $2$ elevado a potência $N$ e divida-o por $N,$ se o resto for $2,$ então o número será primo. Em termos da calculadora-relógio de Gauss, esses matemáticos estavam tentando calcular $2^N$ em um relógio com $N$ horas. Em 1819, o teste dos números primos foi eliminado, pois funciona para todos os números até $340,$ mas falha para $341 = 11 \times 31.$ Exceção descoberta com uma calculadora-relógio de Gauss contendo 341 horas utilizada para simplificar a análise de um número como $2^{341}.$

Teoremas dos números primos

Existem vários teoremas e estudos sobre os números primos, desde resultados tratados na matemática elementar, até conjecturas que não foram provadas.

Matemática elementar

Alguns resultados que podem ser demonstrados com ferramentas elementares (para ver as demonstrações, consulte Vianna ):

• Se um número primo divide um produto, mas não divide um dos fatores, então ele divide o outro fator
• Se um número primo divide a potência de outro número, então ele divide este número
• Se um número é múltiplo, então ele tem pelo menos um fator primo

Teoria dos números

Sabe-se que, à medida que avançamos na sequência dos números inteiros, os primos tornam-se cada vez mais raros. Isto levanta duas questões:

O conjunto dos números primos seria finito ou infinito?
Dado um número natural $n,$ qual é a proporção de números primos entre os números menores que $n?$ 

• A resposta à primeira questão é que o conjunto dos primos é infinito, um resultado conhecido na parte central dos Elementos de Euclides, que lida com as propriedades dos números. Na proposição 20, Euclides explica uma verdade simples porém fundamental sobre os números primos: existe um número infinito deles. Pode-se demonstrar, em notação moderna, da seguinte forma:

Suponha, por absurdo, que o número de primos seja finito e sejam $p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n$ os primos. Seja $P$ o número tal que

$P$ = $\prod_{i=1}^n p_i + 1,$ onde $\prod$ denota o produtório.

Se $P$ é um número primo, é necessariamente diferente dos primos $p_1,\ p_2,\ p_3,\ ...,\ p_n,$ pois sua divisão por qualquer um deles tem um resto de 1.

Por outro lado, se $P$ é composto, existe um número primo $q$ tal que $q$ é divisor de $P .$

Mas obviamente $q \ne\ p_1,\; p_2,\; ...,\; p_n.$ Logo existe um novo número primo.

Há um novo número primo, seja $P$ primo ou composto; este processo pode ser repetido indefinidamente, logo há um número infinito de números primos.

Uma outra prova envolve considerar um número inteiro $n > 1.$ Temos $n + 1$ que, necessariamente, é coprimo de $n$ (números coprimos são os que não têm nenhum fator comum maior do que 1). Provamos isto imaginando que a divisão do menor pelo maior tem resultado 0 e resto $n$ e do maior pelo menor tem resultado 1 e resto 1. Assim, $n (n + 1)$ tem, necessariamente, ao menos dois factores primos.

Tomemos o sucessor deste, que representamos como $n (n + 1) + 1.$ Pelo mesmo raciocínio, ele é coprimo a $n (n + 1).$ Ao multiplicar os dois números, temos $[n (n + 1)] * [n + (n + 1) + 1].$ Como um de seus fatores tem pelo menos dois factores primos diferentes e é coprimo ao outro, o resultado da multiplicação tem pelo menos três factores primos distintos. Este raciocínio também pode ser infinitamente estendido.

• A resposta para a segunda pergunta acima é que essa proporção é aproximadamente $\frac{n}{\ln (n)},$ onde $\ln$ é o logaritmo natural.
• Para qualquer inteiro k, existem k inteiros consecutivos todos compostos.
• O produto de qualquer sequência de k inteiros consecutivos é divisível por k!
• Se k não é primo, então k possui, necessariamente, um fator primo menor do que ou igual a $\sqrt{k}.$
• Todo inteiro maior que 1 pode ser representado de maneira única como o produto de fatores primos

Grupos e sequências de números primos

Pierre de Fermat (1601-1665) descobriu que todo número primo da forma $4n + 1,$ tal como 5,13,17,29,37,41, etc., é a soma de dois quadrados. Por exemplo:

$5 = 1^2 + 2^2,$

$13 = 2^2 + 3^2,$

$17 = 1^2 + 4^2,$

$29 = 2^2 + 5^2,$

$37 = 1^2 + 6^2,$

$41 = 4^2 + 5^2.$

Hoje são conhecidos dois grupos de números primos:

• $(4n+1)$ - que podem sempre ser escritos na forma ($x^2+y^2$); e
• $(4n-1)$ - nunca podem ser escritos na forma ($x^2+y^2$).

Tratando-se de números primos é perigoso fazer uma generalização apenas com base numa observação, não solidamente comprovada matematicamente. Vejamos o exemplo: 31, 331, 3.331, 33.331, 333.331, 3.333.331 e 33.333.331 são primos mas 333.333.331 não é, pois (333.333.331 = 17 x 19.607.843).

Um olhar mais atento na forma como se distribuem os números primos revela que não há uma regularidade nesta distribuição. Por exemplo existem longos buracos entre os números primos, o número 370.261 é seguido de cento e onze números compostos e não existem primos entre os números 20.831.323 e 20.831.533.

Essa irregularidade na distribuição dos números primos é uma das razões^{[carece de fontes]} de não existir uma fórmula matemática que produza todos os números primos^{[carece de fontes]}.

Algumas fórmulas produzem muitos números primos, por exemplo $x^2 - x + 41$ fornece primos quando $x=0,\ 1,\ 2,\ ..., \ 40$ . Veja que para x = 41, a fórmula resulta em $41^2$ que não é primo.

Não existe uma fórmula que forneça primos para todos os valores primos de $x,$ de fato em 1.752 Goldbach provou que não há uma expressão polinomial em $x$ com coeficientes inteiros que possa fornecer primos para todos os valores de $x.$

Não se sabe se há uma expressão polinomial $ax^2+bc+c$ com $a \ne 0$ que represente infinitos números primos. Dirichlet usou métodos para provar que se $a,$ $2b$ e $c$ não têm fator primo em comum, a expressão polinomial a duas variáveis

$ax^2 + 2bxy + cy^2$

representa infinitos primos, quando $x$ e $y$ assumem valores positivos inteiros.

Fermat pensou que a fórmula $2^{2^n} + 1$ forneceria números primos para $n = 0,\ 1,\ 2,\ ....$ Este números são chamados de números de Fermat e são comumente denotados por $F_n.$ Os cinco primeiros números são:

$F_0 = 3,\; F_1 = 5,\; F_2 = 17,\; F_3 = 257\; e \;F_4 = 65.537,$

sendo todos primos.

Aproximações para o n-ésimo primo

Como consequência do teorema do número primo , uma expressão assintótica para o n-ésimo primo p_n é:

$p_n \sim n \ln n.$

Uma aproximação melhor é:

${ p_n = n \ln n + n \ln \ln n - n + \frac{n}{\ln n} \left(\ln \ln n - 2 \right) - \frac{n\ln\ln n}{2(\ln n)^2}\left(\ln\ln n-6\right) + O\left( \frac {n} {(\ln n)^2}\right).}$

O teorema de Rosser mostra que p_n é maior que n ln n. É possível melhorar esta aproximação com os limites :

$n \ln n + n(\ln\ln n - 1) < p_n < n \ln n + n \ln \ln n \quad\mbox{for } n \ge 6.$

Maior número primo já calculado

Em Janeiro de 2013, foi divulgado o maior número primo já calculado. Tem 17 425 170 dígitos que, se fosse escrito por extenso, ocuparia 3,4 mil páginas impressas com 5 mil caracteres cada.

É o número 2^57885161-1

Foi descoberto por Curtis Cooper, da Universidade Central do Missouri em Warrensburg, EUA, como parte do Great Internet Mersenne Prime Search (GIMPS), um projeto internacional que computação compartilhada desenhado para encontrar números primos de Mersene .

Ver também

• Crivo de Eratóstenes
• Números primos gêmeos
• Elemento Primo
• Elemento Irredutivel

Referências

• Hua, L. K.. Additive Theory of Prime Numbers. [S.l.]: AMS Bookstore, 2009. vol. 13. ISBN 978-0-8218-4942-2

Ligações externas

• Teorema de Euclides - no wikilivro sobre Teoria dos números
• 10000 primos - no wikilivro sobre Teoria dos números
• Todos os primos até 1 trilhão (1.000.000.000.000)
• Fórmulas para Números Primos
• Primos de Mersenne de maneira didática
• Prime curios at the prime pages
• The prime pages
• MacTutor history of prime numbers
• The "PRIMES is in P" FAQ
• Lista dos maiores números provavelmente primos
• The prime puzzles
• The Prime Project gera um número primo cada vez que a página é acessada (Link Inexistente - A Página não existe)
• Uma tradução para o inglês da demonstração de Euclides da infinitude dos primos
• Primes from WIMS is an online prime generator.
• Prime Factorization Worksheet generates new questions every time the page is loaded
• Prime Spiral pattern
• 12 digit primes Known 12-digit prime factors of Googolplex - 1
• An Introduction to Analytic Number Theory, by Ilan Vardi and Cyril Banderier
• Primos de Mersenne - Os maiores primos já encontrados
• Calculadora de Números Primos
• Determinación geométrica de los números primos y de los números perfectos
• A demonstration of the Generalized Benford's Law on Prime Numbers