Número real

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Conjuntos de números

\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots

Naturais \mathbb{N}
Inteiros \mathbb{Z}
Racionais \mathbb{Q}
Reais \mathbb{R}
Imaginários
Complexos \mathbb{C}
Números hiper-reais
Números hipercomplexos

Quaterniões \mathbb{H}
Octoniões \mathbb{O}
Sedeniões \mathbb{S}
Complexos hiperbólicos \mathbb{R}^{1,1}
Quaterniões hiperbólicos
Bicomplexos
Biquaterniões
Coquaterniões
Tessarines

O conjunto dos números reais \mathbb{R}\, é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.[1] [2]

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais,[3] formado pelo corpo de frações associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

Propriedades[editar | editar código-fonte]

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, \mathbb{R}\, tem a seguinte propriedade:

  • Se \mathbb{R}\, for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B
\forall A, B, (\mathbb{R} = A \cup B \land (\forall a \in A, b \in B, (a < b)) \implies (\exists x, (\forall a \in A, b \in B \implies a \le x \le b))\,

Nas palavras de Dedekind:[4]

Se todos os pontos da reta são divididos em duas classes, tal que todo ponto da primeira classe está à esquerda de todo ponto da segunda classe, então existe um, e apenas um, ponto que causa esta divisão de todos os pontos em duas classes, este corte da reta em duas porções. (...) Assumir esta propriedade da linha não é nada além do que o axioma pelo qual consideramos a reta contínua.

Formalmente:[5]

 \forall A, B \ ((\forall x \ (( x \in A \land x \not\in B) \lor (x \in B \land x \not\in A)) \ \land \ \forall x \in A \ \forall y \in B \ (x \le y)) \rightarrow \,
 (\exists z \in A \ \forall w \in A (w \le z) \lor \exists z \in B \ \forall w \in B (z \le w))) \,

Construção intuitiva[editar | editar código-fonte]

Real number line.svg

Intuitivamente, podemos construir o conjuntos dos números reais a partir dos racionais da seguinte forma: uma reta formada por números racionais tem buracos[6] [7] (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 2). O conjunto dos números reais completa essa reta, tapando todos os buracos, de forma que se a reta real está dividida em duas semi-retas, então existe um ponto separando as duas semi-retas.

Construção rigorosa[editar | editar código-fonte]

Existem várias formas rigorosas de construir \mathbb{R}\, a partir de \mathbb{Q}\,, as mais tradicionais[8] são através dos cortes de Dedekind e de sucessões de Cauchy.

Extensões[editar | editar código-fonte]


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Referências

  1. Ailton Feitosa. Números Reais (em português) InfoEscola. Página visitada em 02 de março de 2014.
  2. Marcos Noé. Números Reais (em português) R7. Brasil Escola. Página visitada em 02 de março de 2014.
  3. Durão Judice, Edson. Introdução à álgebra linear. Instituto de Minas Gerais, 1960. pp. 220.
  4. Richard Dedekind, Continuity and irrational numbers (seção V, subseção VI) (1872), citado por Jim Propp, Dedekind's forgotten axiom and why we should teach it (and why we shouldn't teach mathematical induction in our calculus classes) [em linha]
  5. Winfried Just, Martin Weese, Discovering Modern Set Theory: The basics (1996), p.86 [google books]
  6. Zoega Táboas, Plácido. Cálculo em uma Variável Real (em português). [S.l.]: EdUSP, 2008. p. 17. ISBN 8531410312
  7. Números irracionais (em português) IGM (23 de agosto de 2010). Página visitada em 04 de março de 2014.
  8. Practical Foundations of Mathematics, por Paul Taylor

Leitura adicional[editar | editar código-fonte]