Número algébrico

Em matemática, um número algébrico é qualquer número real ou complexo que é solução de alguma equação polinomial com coeficientes inteiros. Em um sentido mais amplo, diz-se que um número é algébrico sobre um corpo quando ele é raiz de um polinômio com coeficientes neste corpo.

Todos os números racionais são algébricos porque qualquer fracção do tipo $a/b$ é solução de $bx-a=0$. Alguns números irracionais como √$2$ e $3^{1/3}/2$ são também algébricos, porque são as soluções de $x^2-2=0$ e $8x^3-3=0$, respectivamente. Mas nem todos os reais são algébricos – como exemplo refiram-se π e $e$. A um número complexo não algébrico dá-se o nome de número transcendente.

Se um número algébrico for solução de uma equação de grau $n$ com coeficientes inteiros e de nenhuma de grau inferior, diz-se que é um número algébrico de grau $n$.

O corpo dos números algébricos

A soma, subtração, produto e quociente de dois números algébricos é novamente um número algébrico, logo eles formam um corpo. Pode-se mostrar que as soluções de equações polinomiais com coeficientes algébricos são novamente números algébricos. Posto de outro modo, o corpo dos números algébricos é algebricamente fechado De facto, é o menor corpo algebricamente fechado que contém os racionais, pelo que é a aderência algébrica do corpo dos números racionais.

Números definidos por radicais

Todos os números que possam ser escritos usando uma forma finita de adições, subtrações, multiplicações, divisões, e raízes de grau n (n inteiro positivo) são algébricos. O contrário, no entanto, não é verdadeiro, pois há expressões algébricas que não podem ser representadas dessa maneira. Todos esses números podem ser vistos como soluções para equações polinomiais de grau ≥ $5$. Isto é o que diz a Teoria de Galois.

Inteiros algébricos

Um número algébrico que é raiz de uma equação polinomial de grau $n$, com coeficientes inteiros, onde o coeficiente do termo de grau $n$ é igual a $1$ diz-se um inteiro algébrico. Por exemplo, $3$√$2+5$ e $6i-2$ são inteiros algébricos.

A soma, a diferença e o produto de inteiros algébricos é novamente um inteiro algébrico; por outras palavras, os inteiros algébricos formam um anel. O nome «inteiro algébrico» tem origem no facto de os únicos números racionais que são inteiros algébricos serem os números inteiros.

Números algébricos sobre um corpo

Ver artigo principal: Elemento algébrico

Sejam K e L corpos, $K \subseteq L\,$ e $\alpha \in L\,$. Então, considerando-se todos os polinômios p(x) não-nulos com coeficientes em K, temos que:

$\alpha\,$ é transcendente sobre K se $\forall p(x), p(\alpha) \ne 0\,$

$\alpha\,$ é algébrico sobre K se $\exists p(x), p(\alpha) = 0\,$

Por exemplo, $\pi\,$ é transcendente sobre $\mathbb{Q}[\sqrt 2]\,$, mas é algébrico sobre $\mathbb{Q}[\pi^2]\,$ (porque é uma raiz de $p(x) = x^2 - \pi^2\,$).

Aproximação por números racionais

Todo número real (e os algébricos são reais) pode ser aproximado por números racionais. Uma observação aparentemente paradoxal é que os números algébricos são ruins de serem aproximados por números racionais, ou seja, ao se aproximar

$\alpha \approx \frac {p} {q}$

o erro tende a ser grande quando comparado com o denominador q. Isso pode ser usado para mostrar que alguns números não são algébricos. Para maiores detalhes, ver artigo sobre Números de Liouville.