Número real

 Nota: Para outros significados de Real, veja Real.

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Imaginários Complexos $\mathbb{C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

O conjunto dos números reais $\mathbb{R}\,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Diagrama de alguns subconjuntos de números reais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos). Pode-se pensar num número real como uma fracção decimal possivelmente infinita, como 3,141592(...). Os números reais têm uma correspondência biunívoca com os pontos de uma reta.

Denomina-se corpo dos números reais a colecção dos elementos pertencentes à conclusão dos racionais, formado pelo corpo de fracções associado aos inteiros (números racionais) e a norma associada ao infinito.

Existem também outras conclusões dos racionais, uma para cada número primo p, chamadas números p-ádicos. O corpo dos números p-ádicos é formado pelos racionais e a norma associada a p!

Propriedades

O conjunto dos números reais com as operações binárias de soma e produto e com a relação natural de ordem formam um corpo ordenado. Além das propriedades de um corpo ordenado, $\mathbb{R}\,$ tem a seguinte propriedade:

• Se $\mathbb{R}\,$ for dividido em dois conjuntos (uma partição) A e B, de modo que todo elemento de A é menor que todo elemento de B, então existe um elemento x que separa os dois conjuntos, ou seja, x é maior ou igual a todo elemento de A e menor ou igual a todo elemento de B

$\forall A, B, (\mathbb{R} = A \cup B \land (\forall a \in A, b \in B, (a < b)) \implies (\exists x, (\forall a \in A, b \in B \implies a \le x \le b))\,$

Construção intuitiva

Intuitivamente, podemos construir o conjuntos dos números reais a partir dos racionais da seguinte forma: uma recta formada por números racionais tem buracos (por exemplo, existe um buraco onde deveria estar a raiz quadrada de 2). O conjunto dos números reais completa essa recta, tapando todos os buracos, de forma que se a recta real está dividida em duas semi-rectas, então existe um ponto separando as duas semi-rectas.

Construção rigorosa

Existem várias formas rigorosas de construir $\mathbb{R}\,$ a partir de $\mathbb{Q}\,$, as mais tradicionais são através dos cortes de Dedekind e de sucessões de Cauchy.

Extensões

• O corpo dos números complexos é a única extensão algébrica do corpo $\mathbb{R}\,$.
• Não existe nenhuma extensão própria de $\mathbb{R}\,$ que seja um corpo Arquimediano.
• Uma extensão transcendente de $\mathbb{R}\,$ pode ser construída tomando-se o corpo de frações gerado pelo anel de polinômios reais. Neste corpo pode ser definida uma relação de ordem, de forma que a inclusão de $\mathbb{R}\,$ neste corpo seja um isomorfismo de corpos ordenados entre $\mathbb{R}\,$ e sua imagem. Obviamente, neste corpo existem elementos maiores que qualquer racional, cujos inversos são números positivos menores que qualquer racional positivo (infinitésimos).
• O corpo ordenado dos números hiperreais estende $\mathbb{R}\,$, incluindo números infinitesimais.
• Pode-se acrescentar os dois elementos $-\infty \mbox{ e } \infty\ \mbox{ a } \R\,$, obtendo-se os números reais estendidos. Este conjunto, porém, não é um corpo, porque a soma e a multiplicação não são operações binárias (por exemplo, não existe uma definição satisfatória de $[(-\infty) + \infty\,$].

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