Número

 Nota: Se procura o conceito usado em linguística, veja número (gramática).

Conjuntos de números
$\mathbb{N}\sub\mathbb{Z}\sub\mathbb{Q}\sub\mathbb{R}\sub\mathbb{C}\sub\cdots$
Naturais $\mathbb{N}$ Inteiros $\mathbb{Z}$ Racionais $\mathbb{Q}$ Reais $\mathbb{R}$ Imaginários Complexos $\mathbb{C}$ Números hiper-reais Números hipercomplexos
Quaterniões $\mathbb{H}$ Octoniões $\mathbb{O}$ Sedeniões $\mathbb{S}$ Complexos hiperbólicos $\mathbb{R}^{1,1}$ Quaterniões hiperbólicos Bicomplexos Biquaterniões Coquaterniões Tessarines

Número é um objeto da Matemática usado para descrever quantidade, ordem ou medida. O conceito de número provavelmente foi um dos primeiros conceitos matemáticos assimilados pela humanidade no processo de contagem.

Para isto, os números naturais eram um bom começo. O trabalho dos matemáticos nos levou a descobrir outros tipos de números. Os números inteiros são uma extensão dos números naturais que incluem os números inteiros negativos. Os números racionais, por sua vez, incluem frações de inteiros. Os números reais são todos os números racionais mais os números irracionais.

História dos números

O conceito de número está associada com a capacidade de contar e comparar qual de dois conjuntos de entidades semelhantes é o maior. As primeiras sociedades humanas encontraram dificuldades em determinar qual de dois conjuntos era "maior" do que outro, ou para saber com precisão quantos itens formavam uma coleção de coisas. Esses problemas podem ser resolvidos com uma simples contagem. A maioria das culturas têm sistemas de contagem que atingem pelo menos centenas, algumas outras mais simples têm condições apenas de enumerar os números 1, 2 e 3 e usam o termo "muitos" para quantidades maiores.

A contagem comecou a ser feita usando objetos físicos (tais como pilhas de pedras) e marcas como aquelas encontradas em ossos. Os sistemas de numeração na maioria dos idiomas mostram que a contagem esta associada com os dedos das mãos (sistema decimal).

Os registros de números com a utilização de símbolos escritos é associado ao o surgimento de sociedades mais complexas aonde passaram a ser necessários registros contábeis e burocráticos, registros fiscais e de propriedade.

Definições

Página de rosto da versão resumida de Principia Mathematica to *56.

O conceito de número na sua forma mais simples é claramente abstrata e intuitiva; entretanto, foi objeto de estudo de diversos pensadores. Pitágoras de Samos (cerca de 571 a.C. e 570 a.C. - entre cerca de 497 a.C. ou 496 a.C.), por exemplo, considerava o número a essência e o princípio de todas as coisas; para Arthur Schopenhauer (22 de Fevereiro de 1788 — 21 de Setembro de 1860) o conceito numérico apresenta-se como a ciência do tempo puro . Outras definições:

• Número é a relação entre a quantidade e a unidade, Isaac Newton (4 de janeiro de 1643 — 31 de março de 1727);
• Número é um composto da unidade, Euclides de Alexandria (360 a.C. — 295 a.C.);
• Número é uma coleção de objetos de cuja natureza fazemos abstração, Émile Boutroux (28 de julho de 1845 — 22 de novembro de 1921);
• Número é o resultado da comparação de qualquer grandeza com a unidade, Benjamin Constant (25 de outubro de 1767 — 8 de dezembro de 1830);
• Número é o movimento acelerado ou retardado, Aristóteles (384 a.C. – 322 a.C.);
• Número é uma coleção de unidades, Tales de Mileto (cerca de 624 ou 625 a.C. - 556 ou 558 a.C.) e Marie Jean Antoine Nicolas Caritat (17 de Setembro de 1743 - 28 de Março de 1794);
• Número é a razão entre uma quantidade abstrata e uma outra quantidade da mesma espécie, Isaac Newton (4 de janeiro de 1643 — 31 de março de 1727);
• Número é a classe de todas as classes equivalente a uma dada classe, Bertrand Russell (18 de Maio de 1872 — 2 de Fevereiro de 1970) em Principia Mathematica).

Tipos de números

Os números podem ser classificados em conjunto de números que vem a ser uma coleção de elementos

Diferentes tipos de números podem ser digitados por dois métodos diferentes, pelo método construtivista ou através de axiomas. Pelo método construtivista é introduzido tipos diferentes de números através da construção de um conjunto de elementos. Pelo método axiomático é adotado um conjunto de postulados a partir dos quais e por dedução lógica, são demonstrados teoremas.

$\mathbb{C} \mbox{ Complexos} \begin{cases} \mathbb{R} & \mbox{Reais} \begin{cases} \mathbb{Q} & \mbox{Racionals} \begin{cases} \mathbb{Z} & \mbox{Inteiros} \begin{cases} \mathbb{N} & \mbox{Naturais} \\ & \mbox{Inteiros negativos} \end{cases}\\ & \mbox{Fracionários} \end{cases}\\ & \mbox{Irracionais} \end{cases}\\ & \mbox{Imaginários} \end{cases}$

Exemplos de diferentes tipos de números:

Conjunto de números

$\mathbb{N}$	Natural	0, 1, 2, 3, 4, ... ou 1, 2, 3, 4, ...
$\mathbb{Z}$	Inteiro	..., −5, −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...
-	Inteiro positivo	1, 2, 3, 4, 5, ...
$\mathbb{Q}$	Racional	a⁄b aonde a e b são inteiros e b é diferente de zero
$\mathbb{R}$	Real	Limite de uma sequência de números racionais convergentes
$\mathbb{C}$	Complexo	a + bi aonde a e b são números reais e i é a raiz quadrada de  −1

Número complexo

Um número complexo é um número $z$ que pode ser escrito na forma $z = x + iy$, em que $x$ e $y$ são números reais e $i$ denota a unidade imaginária. Esta tem a propriedade $i^2 = -1$, sendo que $x$ e $y$ são chamados respectivamente parte real e parte imaginária de $z$. O conjunto dos números complexos, denotado por $\mathbb{C}$, contém o conjunto dos números reais.

Os números complexos são utilizados em várias áreas do conhecimento, tais como engenharia, eletromagnetismo, física quântica, teoria do caos, além da própria matemática, em que são estudadas análise complexa, álgebra linear complexa, álgebra de Lie complexa, com aplicações em resolução de equações algébricas e equações diferenciais.

Número real

O conjunto dos números reais $\mathbb{R}\,$ é uma expansão do conjunto dos números racionais que engloba não só os inteiros e os fracionários, positivos e negativos, mas também todos os números irracionais.

Os números reais são números usados para representar uma quantidade contínua (incluindo o zero e os negativos).

Número racional

É todo o número que pode ser representado por uma razão (ou fração) entre dois números inteiros.

O conjunto dos números racionais (representado por Q, o uso da letra Q é derivada da palavra inglesa quotient, cujo significado é quociente, já que a forma de escrever um número racional é o quociente de dois números inteiros, com o denominador diferente de 0).

Número inteiro

São constituídos dos números naturais, incluindo o zero (0, 1, 2, 3, ...) e dos simétricos dos números naturais não nulos (-1, -2, -3, ...). Dois números são simétricos se, e somente se, sua soma é zero. Por vezes, estes números são chamados de inteiros relativos.

O conjunto de todos os inteiros é representado por um Z em negrito (ou ainda um $\mathbb{Z}$ em blackboard bold, ou ℤ, cujo código Unicode é U+2124), que vem do alemão Zahlen, que significa números, algarismos.

Os inteiros (juntamente com a operação de adição) formam o menor grupo que contém o monoide aditivo dos números naturais. Como os números naturais, os inteiros formam um conjunto infinito contável.

Número natural

Um número natural é um número inteiro não-negativo (0, 1, 2, 3,...). O número natural também é definido como um número inteiro positivo, aonde o zero não é considerado como um número natural. Quando o símbolo dos números naturais (N) vier seguido de um asterisco (*) é retirado o 0 (zero).

Número inteiro negativo

Número negativo é todo número real menor que zero, como o −1 e o −3. Dois números são chamados de números simétricos quando estão à mesma distância do zero, como o −5 e o 5.

Número fracionários

Fração é um modo de expressar uma quantidade a partir de um valor que é dividido por um determinado número de partes iguais entre si. Número fracionário expressa esta condição. A palavra vem do latim fractus e significa "partido", "quebrado" (do verbo frangere: "quebrar").

Número irracional

Número irracional é um número real que não pode ser obtido pela divisão de dois números inteiros, ou seja, são números reais mas não racionais. O conjunto dos números irracionais é representado pelo símbolo $\,\!\mathbb{I}$.O conceito de número irracional remonta ao conceito de incomensurabilidade.

A primeira descoberta de um número irracional é geralmente atribuída a Hipaso de Metaponto, um seguidor de Pitágoras.

Número imaginário

Número imaginário é um número complexo com parte real igual a zero, ou seja, um número da forma b i, em que i é a unidade imaginária. Em alguns contextos, exige-se que b seja diferente de zero. O termo foi inventado por René Descartes em 1637 no seu La Géométrie para designar os números complexos em geral, e tem esse nome pelo objetivo inicialmente pejorativo: na época, acreditava-se que tais números não existissem .

Outros números

• Número excessivo ou abundante: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é maior do que ele mesmo (p. ex.: 12).

• Número perfeito: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é igual a ele mesmo (p. ex.: 6).

• Número defectivo ou deficiente: número cuja soma de seus divisores (excluído o próprio número) é menor do ele mesmo (p. ex.: 10).

• Número levemente imperfeito: número cuja soma de seus divisores é o próprio número menos a unidade (p. ex.: 4, 8, 16, 32, $2^n$).

• Números amigáveis: são dois números cuja soma dos divisores de um resulta no outro e vice-versa. Pares amigáveis: 220 e 284, 1184 e 1210, 17296 e 18416, 9363584 e 9437056.

• Números sociáveis: grupo de três ou mais números que formam um círculo fechado, pois a soma dos divisores do primeiro forma o segundo e assim por diante até que a soma dos divisores do último forma o primeiro (p. ex.: 12496, 14288, 15472, 14536 e 14264).

• Número primo: é um número natural que tem exatamente dois divisores distintos: o número um e ele mesmo.

• Número ordinal: são números usados para assinalar uma posição numa sequência ordenada. Exemplos: primeiro, segundo, terceiro, quarto, quinto, sexto etc.Dauben, J.W.. Georg Cantor. His Mathematics and Philosophy of the Infinite. New Jersey: Princeton University Press, 1979., pp. 156−159.</ref>.

• O número 26 é o único que existe que se encontra entre um quadrado (25 = $5^2$) e um cubo (27 = $3^3$) (provado por Pierre de Fermat).

• O número 69 é o único que existe cujos algarismos que compõem seu quadrado ($69^2$ = 4761) e seu cubo ($69^3$ = 328509) formam todos os números entre 0 e 9 sem repetição.

• O número de Skewes (10^10^10^34 = 10^10^10.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000.000) é um dos maiores números que já serviram a algum propósito em Matemática (na fórmula de Gauss). O número de Graham, ainda maior, aparece em problemas de combinatória.

Ver também

Números naturais.

• Escalas curta e longa
• Filosofia da matemática
• Fundamentos da matemática
• Lógica matemática
• Número perfeito
• Número algébrico
• Número transcendental
• Número surreal
• Número hipercomplexo
• Número p-ádico
• Número cardinal
• Número poligonal
• Número triangular
• Um
• Zero
• Infinito

Bibliografia

• Números inteiros e criptografia RSA. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. 226 p. ISBN 8524401249
• Curso de álgebra. 3 ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2002. 226 p. ISBN 852440079X
• Milies, César Polcino, Números: Uma introdução à Matemática. 3 ed. São Paulo: Editora da Universidade de São Paulo, 2003. ISBN 8531404584
• Moreira, Carlos Gustavo Tamm de Araujo, Primos de Mersenne: e outros primos muito grandes. [S.l.]: IMPA, 1999. 81 p. vol. 1. ISBN 8524401494
• Brochero Martínez, Fabio , Moreira, Carlos Gustavo , Saldanha, Nicolau, Teoria dos Números: um passeio com primos e outros números familiares pelo mundo inteiro. [S.l.]: IMPA, 2010. 450 p. vol. 1. ISBN 8524403125
• Números primos: Mistérios e records. Rio de Janeiro: IMPA, 2001. 292 p. ISBN 8524401680
• Introdução à Teoria dos Números. Rio de Janeiro: IMPA, 2007. 198 p. ISBN 9788524401428
• John H. Conway, Richard K. Guy, Le Livre des nombres, Paris, Eyrolles, 1998. ISBN 2-212-03638-8.
• Heinz-Dieter Ebbinghaus, et al. , Numbers, New York, Springer, 1991. ISBN 0-387-97497-0.

Ligações externas

• História dos Números, Dicionário Enciclopédico Conhecer - Abril Cultural.
• A origem dos números, Miriam Gongora e Ulysses Sodré.