Notação de Leibniz

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Em cálculo, a notação de Leibniz, nomeada em honra ao filósofo e matemático alemão Gottfried Wilhelm Leibniz, usa os símbolos dx e dy para representar incrementos "infinitamente pequenos" (ou infinitesimais) de x e y, assim como Δx e Δy representam incrementos finitos de x e y. Sendo y uma função de x

y=f(x) \,,

a derivada de y com relação a x, que mais tarde veio a ser conhecida como,

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x + \Delta x)-f(x)}{\Delta x},

era, de acordo com Leibniz, o quociente de um incremento infinitesimal de y por um incremento infinitesimal de x, ou

\frac{dy}{dx}=f'(x),

onde, à direita está a notação de Lagrange para a derivada de f em x.

Similarmente, embora os matemáticos atualmente vejam uma integral

\int f(x)\,dx

como um limite

\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\sum_{i} f(x_i)\,\Delta x,

onde Δx é um intervalo contendo xi, Leibniz o entendia como uma soma (o símbolo da integral denota um somatório) de infinitas quantidades infinitesimais f(x) dx.

Uma vantangem do ponto de vista de Leibniz é sua compatibilidade com análise dimensional. Por exemplo, na notação de Leibniz, a derivada de segunda ordem (usando diferenciação implícita) é:

\frac{d^2 y}{dx^2}=f''(x)

e tem as mesmas unidades dimensionais que \frac{y}{x^2}.[1]

Referências

  1. Note que \frac{d^2 y}{d x^2} é a forma reduzida de \frac{d{\frac{dy}{dx}}}{dx}, ou, em outras palavras a segunda variação infinitesimal de y sobre o quadrado da primeira variação infinitesima de x. O denominador não é nem o diferencial de x2, nem o segundo diferencial de x.