Operador de Laplace-Beltrami

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Em geometria diferencial, o operador de Laplace pode ser generalizado para operares em funções definidas em superfícies no espaço euclidiano e mais em geral, em variedades Riemannianas e pseudo-Riemanniana. Este operador mais geral é conhecido pelo nome de operador de Laplace-Beltrami, em homenagem a Laplace e Beltrami. Como o Laplaciano, o operador de Laplace-Beltrami é definido como a divergência de gradiente, e um operador linear tendo funções em funções. O operador pode ser estendido para operar em tensores como o desvio da derivada covariante. Alternativamente, o operador pode ser generalizado para operar em formas diferenciais usando a derivada exterior[1] e de divergência. O operador resultante é chamado de operador de Laplace-de Rham (em homenagem a Georges de Rham).[2]

Operações[editar | editar código-fonte]

O operador de Laplace-Beltrami, como o Laplaciano, é a divergência[3] do gradiente[4] :

\Delta f = \operatorname{div}\; \operatorname{grad} f.

Uma fórmula explícita em coordenadas locais[5] é possível.

Suponha primeiro que M é uma variedade Riemanniana orientada. A orientação permite que se especifique uma forma de volume definida em M, dada em um sistema de coordenadas orientad xi por:

\mathrm{vol}_n := \sqrt{|g|} \;dx^1\wedge \ldots \wedge dx^n

onde os dxi são as 1-formas[6] que formam a base dual[7] para os vetores de base[8] .

\partial_i := \frac {\partial}{\partial x^i}

e \wedge é o produto exterior[9] . Neste caso |g| := |det(gij)| é o valor absoluto da determinante do tensor métrico gij.

Referências

  1. Flanders, Harley. Differential forms with applications to the physical sciences. [S.l.]: Dover Publications, 1989. 20 p. 0-486-66169-5
  2. Alice Herrera de Figueiredo (2012). O OPERADOR DE LAPLACE-BELTRAMI DISCRETO E APLICAÇÕES EM MALHAS. PIBIC - Programa Institucional de Iniciação Científica do CNPq. Página visitada em 28 de fev. de 2013.
  3. Martins, E. R. e Capelas de Oliveira, E.. Equações diferenciais, metodo de separação de variáveis e os sistemas de Stäckel. Campinas (SP): Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, 2006.
  4. Pereira, Agnaldo Souza; Oliveira, Cláudio Barros Vitor Jefferson Pereira de (01/01/2007). Cálculo II. Universidade do Estado do Amazonas. Página visitada em 3/23/13.
  5. CLAY SHONKWILER (Primavera 2004). GEOMETRY HW 9. Página visitada em 23/3/13.
  6. J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne. Gravitation. [S.l.]: W.H. Freeman & Co, 1973. p. 57. ISBN 0-7167-0344-0
  7. Leonid P. Lebedev. Michael J. Cloud &, Victor A. Eremeyev, Tensor Analysis With Applications to Mechanics., World Scientific, 2010, ISBN 9789814313124
  8. Tu, Loring W.. An Introduction to Manifolds. [S.l.]: Springer, 2010. p. 149. ISBN 978-1-4419-7399-3
  9. R. Penrose. The Road to Reality. [S.l.]: Vintage books, 2007. ISBN 0-679-77631-1
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