Operador pseudodiferencial

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Um operador pseudo-diferencial é uma generalização do conceito de operador diferencial. É uma parte fundamental da teoria das equações diferenciais parciais. Os fundamentos da teoria foram desenvolvidos por Lars Hörmander.

Motivação[editar | editar código-fonte]

Operadores diferenciais lineares com coeficientes constantes[editar | editar código-fonte]

Seja o operador diferencial linear com coeficientes constantes

 P(D) := \sum_\alpha a_\alpha \, D^\alpha

operando sobre o espaço das funções infinitamente contínuas com suporte compacto em \mathbb{R}^n. Pode ser expresso como a composição de uma Transformada de Fourier, uma multiplicação com o polinômio

  P(\xi) = \sum_\alpha a_\alpha \, \xi^\alpha

e a transformada de Fourier inversa

 (1) \quad P(D) u (x) = 
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(\xi) u(y) dy d\xi ,

sendo

\alpha = (\alpha_1,\dots, \alpha_n) \in \mathbb{N}_0^n um índice múltiplo, D^\alpha = (-i \partial_1)^{\alpha_1} \dots (-i \partial_n)^{\alpha_n} um operador diferencial, sendo \partial_j a derivada parcial em relação à j-ésima variável e a_\alpha \, são números complexos.

De forma análoga um operador pseudo-diferencial P(x,D) sobre \mathbb{R}^n é um operador da forma

 (2) \quad P(x,D) u (x) = 
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(x,\xi) u(y) dy d\xi ,

com uma função generalizada P no integrando, como a seguir discutido.

Dedução da fórmula (1)[editar | editar código-fonte]

A transformada de Fourier de uma função infinitamente diferenciável u, com suporte compacto em \mathbb{R}^n, é

\hat u (\xi) := \int e^{- i y \xi} u(y) dy

e a transformada de Fourier inversa fornece

u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int e^{i x \xi} \hat u (\xi) d\xi = 
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int \int e^{i (x - y) \xi} u (y) dy d\xi .

Aplicando P(D) sobre esta representação de u e utilizando

P(D_x) \, e^{i (x - y) \xi} = e^{i (x - y) \xi} \, P(\xi)

resulta em (1).

Representação de soluções de equações diferenciais parciais[editar | editar código-fonte]

A fim de resolver uma equação diferencial

 P(D) \, u = f

é aplicada nos dois lados uma transformada de Fourier, resultando uma equação algébrica

 P(\xi) \, \hat u (\xi) = \hat f(\xi) .

Caso o símbolo P(\xi) não seja nulo para \xi \in \mathbb{R}^n, podemos dividir por  P(\xi)

 \hat u(\xi) = \frac{1}{P(\xi)} \hat f(\xi) .

Aplicando a transformada inversa obtemos a solução

  u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int e^{i x \xi} \frac{1}{P(\xi)} \hat f (\xi) d\xi.

Na obten deste resultado as seguintes condições foram observadas:

  1. P(D) é um operador diferencial linear com coeficientes constantes,
  2. seu símbolo P(\xi) não é nulo,
  3. a transformada de Fourier de u e f é definida.

A última condição pode ser enfraquecida utilizando a Teoria das distribuições. As duas primeiras condições podem ser enfraquecidas como segue. Na última fórmula substitui-se a transformada de Fourier de f:

  u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int \int e^{i (x-y) \xi} \frac{1}{P(\xi)} f (y) dy d\xi.

Isto é semelhante à formula (1), só que aqui \frac{1}{P(\xi)} não é um polinômio, e sim uma função generalizada.

Definição formal[editar | editar código-fonte]

Classe de símbolos[editar | editar código-fonte]

Se P(x,\xi) é uma função infinitamente diferenciável sobre \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n com

 |\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta} \, (1 + |\xi|)^{m - |\alpha|}

para todo x,\xi, todo multi-índice \alpha,\beta, uma constante C_{\alpha, \beta} e números reais m, então P pertence à classe de símbolos S^m_{1,0}.

Operadores pseudo-diferenciais[editar | editar código-fonte]

Seja P uma função infinitamente diferenciável da classe de símbolos S^m_{1,0}. Um operador pseudo-diferencial de ordem m é definido por

P(x,D) u (x) = 
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(x,\xi) u(y) dy d\xi.

O conjunto dos operadores pseudo-diferenciais de ordem m é denotado por \Psi^m_{1,0}.

Bibliografia[editar | editar código-fonte]

  • Michael E. Taylor, Pseudodifferential Operators, Princeton Univ. Press 1981, ISBN 0-691-08282-0
  • ders. Partial differential equations, Bd. 1,2, Springer 1996, 1997, Bd.1 ISBN 0387946535, Bd.2 ISBN 0387946519
  • M. A. Shubin Pseudodifferential Operators and Spectral Theory, Springer 2001. ISBN 3-540-41195-X
  • Francois Treves Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators, Plenum 1981. ISBN 0-306-40404-4
  • F. G. Friedlander, M. Joshi Introduction to the Theory of Distributions, Cambridge University Press 1999. ISBN 0-521-64971-4
  • José García-Cuerva Fourier Analysis and Partial Differential Equations, CRC Press 1995. ISBN 084937877X

Ligações externas[editar | editar código-fonte]